专题10 机车启动的两种方式

根据 $ P=Fv $ ,可得 $ v=P\dfrac{1}{F} $ , $ v-\dfrac{1}{F} $ 图像的斜率表示功率,根据图像得 $ P=\dfrac{3{v}_{0}-{v}_{0}}{\dfrac{3}{{F}_{0}}-\dfrac{1}{{F}_{0}}}={F}_{0}{v}_{0} $ , $ \mathrm{B} $ 错误；根据牛顿第二定律得 $ F-f=ma $ ,又因为 $ P=Fv $ ,解得 $ \dfrac{P}{v}-f=ma $ ,电动车在 $ BC $ 段速度增大,则加速度减小, $ \mathrm{A} $ 错误；电动车最终以大小为 $ 3{v}_{0} $ 的速度做匀速直线运动,则 $ P=f\cdot 3{v}_{0} $ ,解得 $ f=\dfrac{{F}_{0}}{3} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；根据 $ \dfrac{P}{v}-f=ma $ ,当 $ v={v}_{0} $ 时 ,解得 $ a=\dfrac{2{F}_{0}}{3m} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

由题意可知配送机器人满载时受到的阻力为 $ f=\dfrac{1}{10}(m+M)g=550\mathrm{N} $ ,满载时最大速度可达 $ 5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,速度最大时,牵引力与阻力大小相等,则额定功率为 $ P=f{v}_{\mathrm{m}}=2750\mathrm{W} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；该配送机器人以额定功率启动时,有 $ P=Fv $ ,随着 $ v $ 增大, $ F $ 逐渐减小,根据牛顿第二定律有 $ F-f=m^\prime a $ ,可知机器人做加速度减小的变加速运动直至达到最大速度,故 $ \mathrm{B} $ 错误；该配送机器人空载时,能达到的最大速度为 $ v^\prime =\dfrac{P}{\dfrac{1}{10}mg}=\dfrac{2750}{350}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 7.9\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；满载情况下以额定功率启动,当速度为 $ 2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 时,牵引力大小为 $ F^\prime =\dfrac{P}{v″}=\dfrac{2750}{2}\mathrm{N}=1375\mathrm{N} $ ,该配送机器人的加速度大小为 $ a=\dfrac{F^\prime -f}{m+M}=\dfrac{1375-550}{550}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=1.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 当汽车以最大速度前进时,牵引力与阻力大小相等,则有 $ f=F=\dfrac{{P}_{0}}{{v}_{\mathrm{m}}}=\dfrac{60×{10}^{3}}{20}\mathrm{N}=3000\mathrm{N} $ .

（2） 当汽车的速度为 $ v=10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 时,牵引力大小为 $ {F}_{1}=\dfrac{{P}_{0}}{v}=\dfrac{60×{10}^{3}}{10}\mathrm{N}=6000\mathrm{N} $ ,

根据牛顿第二定律有 $ {F}_{1}-f=ma $ ,

解得 $ a=\dfrac{{F}_{1}-f}{m}=\dfrac{6000-3000}{2000}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=1.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

$ {t}_{2} $ 时刻,汽车达到最大速度并开始匀速运动,牵引力大小等于阻力大小,有 $ {F}_{\mathrm{f}}=\dfrac{P}{{v}_{2}} $ , $ \mathrm{A} $ 错误； $ 0～{t}_{1} $ 过程中,汽车做匀加速运动,有 $ F-{F}_{\mathrm{f}}=ma $ , $ a=\dfrac{{v}_{1}}{{t}_{1}} $ ,联立解得牵引力大小 $ F=\dfrac{m{v}_{1}}{{t}_{1}}+\dfrac{P}{{v}_{2}} $ , $ \mathrm{B} $ 正确；汽车在 $ 0～{t}_{1} $ 过程中的功率没有达到额定功率,所以 $ 0～{t}_{2} $ 过程中汽车牵引力所做的功小于 $ P{t}_{2} $ ,

$ \mathrm{C} $ 错误；汽车在 $ {t}_{1}～{t}_{2} $ 过程中的功率为额定功率,所以该过程中汽车牵引力所做的功为 $ P({t}_{2}-{t}_{1}) $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

赛车的额定功率为 $ P=4{F}_{阻}{v}_{0} $ ,赛车的最大速度为 $ {v}_{\mathrm{m}}=\dfrac{P}{{F}_{阻}}=\dfrac{4{F}_{阻}{v}_{0}}{{F}_{阻}}=4{v}_{0} $ , $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；赛车做匀加速直线运动过程中，牵引力大小为 $ F=\dfrac{P}{{v}_{0}}=4{F}_{阻} $ ,赛车做匀加速直线运动的加速度大小为 $ a=\dfrac{F-{F}_{阻}}{m}=\dfrac{3{F}_{阻}}{m} $ ,赛车做匀加速直线运动的时间为 $ t=\dfrac{{v}_{0}}{a}=\dfrac{m{v}_{0}}{3{F}_{阻}} $ , $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

由题图乙可知,机车在 $ BC $ 段功率恒定,当速度最大时,机车匀速行驶,机车所受恒定阻力大小等于此时机车牵引力的大小,则有 $ f=F=1.5×{10}^{5}\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；由题图乙可知,机车的最大速度为 $ {v}_{\mathrm{m}}=60\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,机车运动的额定功率 $ P=F{v}_{\mathrm{m}}=f{v}_{\mathrm{m}}=1.5×{10}^{5}×60\mathrm{W}=9×{10}^{6}\mathrm{W} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；机车匀加速运动的末速度大小 $ v=\dfrac{P}{{F}_{1}}=\dfrac{9×{10}^{6}}{4.5×{10}^{5}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ AB $ 段机车匀加速运动,由题图甲可知机车的加速度大小为 $ a=0.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,机车匀加速运动的时间 $ {t}_{0}=\dfrac{v}{a}=40\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；机车匀加速运动过程，根据牛顿第二定律,可得 $ {F}_{1}-f=Ma $ ,解得 $ M=6×{10}^{5}\mathrm{k}\mathrm{g} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

列车匀速行驶时,牵引力与阻力平衡,则有 $ F=f=k{v}^{2} $ ,机车的功率 $ P=Fv=k{v}^{3} $ ,即 $ P\propto {v}^{3} $ ,故列车的速度变为原来的2倍时,功率变为原来的8倍，即 $ P^\prime =8P $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意,两车分别从 $ {t}_{1} $ 和 $ {t}_{3} $ 时刻开始以额定功率行驶,从 $ {t}_{2} $ 和 $ {t}_{4} $ 时刻开始牵引力均视为不变,则两辆车 $ {t}_{2} $ 和 $ {t}_{4} $ 时刻开始做匀速直线运动,牵引力大小等于阻力大小,

故可得甲车所受阻力大于乙车所受阻力,根据 $ F=f=kmg $ ,可知甲车的总重比乙车大, $ \mathrm{A} $ 正确；如图所示,甲车在 $ A $ 点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等,所以甲车从这个时刻开始运动，乙车在 $ B $ 点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等,乙车从这个时刻开始运动,所以甲车比乙车先开始运动, $ \mathrm{B} $ 正确；两车分别从 $ {t}_{1} $ 和 $ {t}_{3} $ 时刻开始以额定功率行驶,这两个时刻,两车的牵引力等大,又两车额定功率 $ P $ 相同,由 $ P=Fv $ 可知,甲车在 $ {t}_{1} $ 时刻和乙车在 $ {t}_{3} $ 时刻的速率相同, $ \mathrm{C} $ 正确；由前面分析知,两车在 $ {t}_{2} $ 和 $ {t}_{4} $ 时刻开始做匀速直线运动,牵引力大小等于阻力大小,则 $ {t}_{2} $ 时刻甲车达到最大速度, $ {t}_{4} $ 时刻乙车达到最大速度,由于甲车的牵引力比乙车大,根据 $ P=Fv $ 可知甲车在 $ {t}_{2} $ 时刻的速率小于乙车在 $ {t}_{4} $ 时刻的速率, $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 洒水车满载时,所受阻力 $ f=k(M+{m}_{0})g $ ,达到最大速度时,牵引力与阻力大小相等,则 $ {v}_{\mathrm{m}}=\dfrac{{P}_{0}}{F}=\dfrac{{P}_{0}}{f} $ ,解得 $ {v}_{\mathrm{m}}=\dfrac{{P}_{0}}{k(M+{m}_{0})g} $ .

（2） 洒水车匀速向前运动 $ s $ 的距离,所经历的时间 $ t^\prime =\dfrac{s}{v} $ ,

洒水车向外洒出的水的质量为 $ mt\prime $ ,此时洒水车所受阻力 $ f^\prime =k(M+{m}_{0}-mt\prime )g $ ,洒水车匀速运动,牵引力与阻力大小相等,有 $ F^\prime =f^\prime $ ,解得 $ F^\prime =k(M+{m}_{0}-m\dfrac{s}{v})g $ .

（3） 设发动机的功率为 $ P $ ,经一段时间 $ t $ 后的速度大小为 $ v^\prime $ ,根据匀变速直线运动的规律有 $ v^\prime =at $ ,此时发动机牵引力大小为 $ F=\dfrac{P}{v^\prime } $ ,根据牛顿第二定律得 $ F-f=(M+{m}_{0}-mt)a $ ,阻力与时间的关系为 $ f=k(M+{m}_{0}-mt)g $ ,

联立可得 $ P=a(a+kg)[(M+{m}_{0})t-m{t}^{2}] $ ,

由数学知识可得,当 $ t=\dfrac{M+{m}_{0}}{2m} $ 时功率有最大值,最大值为 $ {P}_{ \max }=\dfrac{a (a+kg ) (M+{m}_{0})^{2}}{4m} $ .