专题8 双星、多星问题 黑洞

设 $ A $ 、 $ B $ 两颗星的轨道半径分别为 $ {r}_{1} $ 、 $ {r}_{2} $ ,两颗星之间的万有引力提供向心力,则有 $ \dfrac{GMm}{{L}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1} $ , $ \dfrac{GMm}{{L}^{2}}=M\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2} $ ,联立可得 $ m{r}_{1}=M{r}_{2} $ ,由于 $ OA > OB $ ,即 $ {r}_{1} > {r}_{2} $ ,所以 $ m < M $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由题可知 $ {r}_{1}+{r}_{2}=L $ ,结合 $ \mathrm{A} $ 项分析可得两颗星的周期为 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{L}^{3}}{G(M+m)}} $ ,若 $ m $ 缓慢增大,其他量不变,可知周期 $ T $ 变小,由 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T} $ 可知,角速度逐渐变大,故 $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误；两颗星之间的万有引力提供向心力,可知两颗星做圆周运动所需要的向心力大小相等,故 $ \mathrm{C} $ 错误.

对双星系统,由相互作用的万有引力充当向心力,有 $ G\dfrac{{m}_{甲}{m}_{乙}}{{L}^{2}}={m}_{甲}{r}_{甲}{\omega }^{2}={m}_{乙}{r}_{乙}{\omega }^{2} $ ,可得 $ {m}_{甲}{r}_{甲}={m}_{乙}{r}_{乙} $ ,即 $ \dfrac{{r}_{甲}}{{r}_{乙}}=\dfrac{{m}_{乙}}{{m}_{甲}} $ ,故甲、乙做圆周运动的半径与两恒星质量成反比,故 $ \mathrm{A} $ 正确；由匀速圆周运动的规律可得 $ {v}_{甲}=\omega {r}_{甲} $ , $ {v}_{乙}=\omega {r}_{乙} $ ,可得 $ \dfrac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}=\dfrac{{r}_{甲}}{{r}_{乙}}=\dfrac{{m}_{乙}}{{m}_{甲}} $ ,故甲、乙的线速度大小与两恒星质量成反比,故 $ \mathrm{B} $ 错误；双星在相等的时间内转过的角度相等,周期相等,由角速度的定义式 $ \omega =\dfrac{\theta }{t} $ ,可得甲的周期 $ T=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{\omega }=\dfrac{2\mathrm{\pi }t}{\theta } $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；由 $ \dfrac{G{m}_{甲}{m}_{乙}}{{L}^{2}}={m}_{甲}{\omega }^{2}{r}_{甲} $ , $ \dfrac{G{m}_{甲}{m}_{乙}}{{L}^{2}}={m}_{乙}{\omega }^{2}{r}_{乙} $ ,解得 $ {m}_{甲}+{m}_{乙}=\dfrac{{\omega }^{2}{L}^{3}}{G} $ ,其中 $ \omega =\dfrac{\theta }{t} $ ,可得甲、乙的总质量为 $ {m}_{甲}+{m}_{乙}=\dfrac{{\theta }^{2}{L}^{3}}{G{t}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

撞击后,科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短,可知该双星系统的运动周期变小, $ \mathrm{A} $ 错误；设双星之间的距离为 $ L $ ,根据万有引力提供向心力可得 $ G\dfrac{Mm}{{L}^{2}}=MR\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}=mr\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}} $ ,其中 $ R+r=L $ ,联立解得 $ \dfrac{R}{r}=\dfrac{m}{M} $ , $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{L}^{3}}{G(M+m)} $ ,可得两颗小行星中心连线的距离减小,两颗小行星做圆周运动的半径之比不变, $ \mathrm{B} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确；根据牛顿第二定律有 $ G\dfrac{Mm}{{L}^{2}}=M{a}_{1}=m{a}_{2} $ ,两颗小行星中心连线的距离减小,则两颗小行星的向心加速度均变大, $ \mathrm{C} $ 错误.

（1） 双星系统中的两颗恒星 $ a $ 、 $ b $ 绕 $ O $ 点做圆周运动,两颗恒星的角速度相同；由图像可知,该双星系统的周期为 $ 2{t}_{0} $ , $ a $ 的轨道半径为 $ 4{x}_{0} $ , $ b $ 的轨道半径为 $ 3{x}_{0} $ ,可得 $ {r}_{a}:{r}_{b}=4:3 $ ,由线速度与角速度的关系 $ v=\omega r $ 可知, $ a $ 、 $ b $ 的线速度之比为 $ {v}_{a}:{v}_{b}=4:3 $ .

（2） 双星靠相互间的万有引力提供向心力,两者向心力大小相等,则 $ {m}_{a}{\omega }^{2}{r}_{a}={m}_{b}{\omega }^{2}{r}_{b} $ ,

可得 $ {m}_{a}:{m}_{b}=3:4 $ .

（3） 对 $ a $ 由万有引力提供向心力可知 $ G\dfrac{{m}_{b}{m}_{a}}{{L}^{2}}={m}_{a}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{a} $ ,

其中 $ T=2{t}_{0} $ , $ {r}_{a}=4{x}_{0} $ , $ L=7{x}_{0} $ ,解得 $ {m}_{b}=\dfrac{196{\mathrm{\pi }}^{2}{x}_{0}^{3}}{G{t}_{0}^{2}} $ .

第一种形式下,左边星体受到中间星体和右边星体的万有引力作用,它们的合力充当向心力,则有 $ G\dfrac{mm}{{R}^{2}}+G\dfrac{mm}{{\left(2R\right) ^ {2}}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R $ ,解得 $ {T}_{1}^{2}=\dfrac{16{\mathrm{\pi }}^{2}{R}^{3}}{5Gm} $ ,第二种形式下,三颗星体之间的距离均为 $ \sqrt{3}R $ ,由几何关系知,三颗星体做圆周运动的半径为 $ R $ ,任一星体所受另外两颗星体的万有引力的合力充当向心力,即 $ {F}_{合}=2G\dfrac{mm}{{\left(\sqrt{3}R\right) ^ {2}}} \cos {30}^{\circ }=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{2}^{2}}R $ ,解得 $ {T}_{2}^{2}=\dfrac{4\sqrt{3}{\mathrm{\pi }}^{2}{R}^{3}}{Gm} $ ,则 $ \dfrac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}=\dfrac{4}{15}\sqrt{3} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

三颗星体做圆周运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径,根据几何关系可知 $ r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}l $ ,根据题意,可知这三颗星体的质量相同,设为 $ M $ ,根据牛顿第二定律有 $ {F}_{向}=2\dfrac{G{M}^{2}}{{l}^{2}} \cos {30}^{\circ }=Mr\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}} $ ,解得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{l}^{3}}{3G{T}^{2}} $ ,三颗星体做圆周运动的向心力大小相等,方向不同,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；根据牛顿第二定律有 $ 2\dfrac{G{M}^{2}}{{l}^{2}} \cos {30}^{\circ }=M\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得线速度大小为 $ v=\dfrac{2\sqrt{3}\mathrm{\pi }l}{3T} $ ,根据公转周期可以计算公转角速度,不能计算自转角速度,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

天体绕黑洞运动时,有 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}\right) ^ {2}}r $ ,解得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}} $ , $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；黑洞的逃逸速度不小于光速,有 $ \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}⩾ c $ ,解得 $ R⩽ \dfrac{2GM}{{c}^{2}}=\dfrac{8{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{{c}^{2}{T}^{2}} $ , $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 设 $ A $ 、 $ B $ 的轨道半径分别为 $ {r}_{1} $ 、 $ {r}_{2} $ ,由题意知, $ A $ 、 $ B $ 做匀速圆周运动的角速度相同,设为 $ \omega $ ,有 $ {F}_{A}={m}_{1}{\omega }^{2}{r}_{1} $ , $ {F}_{B}={m}_{2}{\omega }^{2}{r}_{2} $ ,且 $ {F}_{A}={F}_{B} $ ,

设 $ A $ 、 $ B $ 之间的距离为 $ r $ ,有 $ r={r}_{1}+{r}_{2} $ ,联立解得 $ r=\dfrac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1} $ ,由万有引力定律有 $ {F}_{A}=G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}} $ ,可得 $ {F}_{A}=G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}^{3}}{{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right) ^ {2}}{r}_{1}^{2}} $ ,又 $ {F}_{A}=G\dfrac{{m}_{1}m^\prime }{{r}_{1}^{2}} $ ,比较可得 $ m^\prime =\dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right) ^ {2}}} $ .

（2） 对星 $ A $ ,由牛顿第二定律,有 $ G\dfrac{{m}_{1}m^\prime }{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}} $ ,星 $ A $ 的轨道半径 $ {r}_{1}=\dfrac{vT}{2\mathrm{\pi }} $ ,联立可得 $ \dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right) ^ {2}}}=\dfrac{{v}^{3}T}{2\mathrm{\pi }G} $ .

（3） 将 $ {m}_{1}=6{m}_{\mathrm{S}} $ 代入（2）中的关系式可得 $ \dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left(6{m}_{\mathrm{S}}+{m}_{2}\right) ^ {2}}}=\dfrac{{v}^{3}T}{2\mathrm{\pi }G} $ ,

代入数据得 $ \dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left(6{m}_{\mathrm{S}}+{m}_{2}\right) ^ {2}}}=6.9×{10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}=3.45{m}_{\mathrm{S}} $ ,

设 $ {m}_{2}=n{m}_{\mathrm{S}}(n > 0) $ ,则 $ \dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left(6{m}_{\mathrm{S}}+{m}_{2}\right) ^ {2}}}=\dfrac{n}{{\left(\dfrac{6}{n}+1\right) ^ {2}}}{m}_{\mathrm{S}} $ ,

可见, $ \dfrac{{m}_{2}^{3}}{{\left(6{m}_{\mathrm{S}}+{m}_{2}\right) ^ {2}}} $ 的值随 $ n $ 的增大而增大,令 $ n=2 $ ,

得 $ \dfrac{n}{{\left(\dfrac{6}{n}+1\right) ^ {2}}}{m}_{\mathrm{S}}=0.125{m}_{\mathrm{S}} < 3.45{m}_{\mathrm{S}} $ ,

若使上式成立,则 $ n $ 必大于2,即暗星 $ B $ 的质量 $ {m}_{2} $ 必大于 $ 2{m}_{\mathrm{S}} $ ,由此可判断暗星 $ B $ 有可能是黑洞.