第2节 万有引力定律

“月—地”检测的目的是验证地球对月球的引力与地球对地面物体的引力为同一种性质的力，并验证这种力是否遵循距离平方反比规律，故 $ \mathrm{A} $ 正确， $ \mathrm{B} $ 错误；对月球有 $ G\dfrac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}={m}_{月}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}r}{{T}^{2}} $ ，对地面上的物体有 $ G\dfrac{Mm\prime }{{R}^{2}}=m^\prime g $ ，若计算得到 $ \dfrac{{R}^{2}}{{r}^{2}}=\dfrac{\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}r}{{T}^{2}}}{g} $ ,就可以完成“月—地”检测，因此需要用到的物理量是 $ r $ 、 $ R $ 、 $ T $ 和 $ g $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误， $ \mathrm{D} $ 正确.

牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量，故 $ \mathrm{A} $ 正确；万有引力是两物体间的相互作用力，大小相等、方向相反，作用在不同物体上，属于作用力与反作用力，故 $ \mathrm{B} $ 错误；万有引力公式 $ F=G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}} $ 仅适用于质点或均匀球体间的计算，当 $ r $ 趋近于零时，物体无法视为质点，此公式不适用，故 $ \mathrm{C} $ 错误；引力常量 $ G $ 是普适常数，与 $ F $ 、 $ r $ 、 $ {m}_{1} $ 、 $ {m}_{2} $ 无关， $ G=\dfrac{F{r}^{2}}{{m}_{1}{m}_{2}} $ 仅用于计算 $ G $ 的数值，故 $ \mathrm{D} $ 错误.

根据 $ F=G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}} $ 可知,使两质点的质量各减小一半,距离变为原来的2倍,则两质点间的万有引力减小到原来的 $ \dfrac{1}{16} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；使两质点的质量和两质点间的距离都减小到原来的 $ \dfrac{1}{2} $ ,则两质点间的万有引力大小不变,故 $ \mathrm{B} $ 错误；使其中一个质点的质量减小到原来的 $ \dfrac{1}{4} $ ,距离变为原来的2倍,则两质点间的万有引力减小到原来的 $ \dfrac{1}{16} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；使两质点间的距离增大到原来的4倍,质量均变为原来的2倍,则两质点间的万有引力减小到原来的 $ \dfrac{1}{4} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

设物体的质量为 $ m $ ,则物体在地球表面受到的引力为 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ ,同理在火星表面,物体受到的引力为 $ F^\prime =G\dfrac{M^\prime m}{r{\prime }^{2}} $ ,又因为火星质量为地球质量的 $ k $ 倍,其半径为地球半径的 $ p $ 倍,联立得同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 $ \dfrac{F^\prime }{F}=\dfrac{k}{{p}^{2}} $ , $ \mathrm{B} $ 正确.

物体 $ N $ 受到的大球剩余部分的引力为完整大球对物体 $ N $ 的引力减去小球对物体 $ N $ 的引力,未挖去小球前,大球对物体 $ N $ 的引力为零,所以大球剩余部分对物体 $ N $ 的引力大小等于小球对物体 $ N $ 的引力大小,根据万有引力定律可得 $ F=G\dfrac{m^\prime m}{{\left(\dfrac{R}{2}\right) ^ {2}}} $ , $ m^\prime =\rho \cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(\dfrac{R}{2}\right) ^ {3}} $ ,联立可得 $ F=\dfrac{2}{3}\mathrm{\pi }\rho GmR $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

设月球密度为 $ \rho $ ,则月球质量 $ M=\rho \cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3} $ ,半径为 $ R-h $ 的球体质量为 $ M^\prime =\rho \cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }(R-h)^{3} $ ,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零,则质量为 $ m $ 的钻尖进入月球表面以下 $ h $ 深处受到的万有引力大小 $ F=\dfrac{GM\prime m}{ (R-h)^{2}}=G\dfrac{ (R-h )Mm}{{R}^{3}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

根据万有引力定律 $ F=G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}} $ ,可得 $ G=\dfrac{F{r}^{2}}{{m}_{1}{m}_{2}} $ ,所以 $ G $ 的单位为 $ \dfrac{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{m}}^{2}}{{\mathrm{k}\mathrm{g}}^{2}}={\mathrm{m}}^{3}\cdot {\mathrm{k}\mathrm{g}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-2} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

将题图甲中的 $ \dfrac{3}{4} $ 圆环分成3个 $ \dfrac{1}{4} $ 圆环,则由对称性可知, $ \dfrac{3}{4} $ 圆环对球的引力大小等于其中的一个 $ \dfrac{1}{4} $ 圆环对球的引力大小,则每个 $ \dfrac{1}{4} $ 圆环对球的引力大小均为 $ F $ ,则题图乙中半圆环对球的引力大小为 $ {F}_{乙}=\sqrt{{F}^{2}+{F}^{2}}=\sqrt{2}F $ ,题图丙中由对称性可知,整个圆环对球的引力为零, $ \mathrm{B} $ 正确.

$ A $ 、 $ B $ 同时位于各自椭圆轨道的近地点时, $ A $ 、 $ B $ 所受到地球的万有引力大小相等,设 $ B $ 的近地点距离地心的距离为 $ x $ ,则有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=G\dfrac{M\cdot 4m}{{x}^{2}} $ ,又知 $ A $ 第四次经过其轨道的近地点时, $ B $ 恰好第一次经过其轨道的远地点,则 $ 4{T}_{A}=\dfrac{1}{2}{T}_{B} $ ,设 $ B $ 的远地点距离地心的距离为 $ y $ ,由开普勒第三定律得 $ \dfrac{{T}_{A}^{2}}{{T}_{B}^{2}}=\dfrac{{\left(\dfrac{r+3r}{2}\right) ^ {3}}}{{\left(\dfrac{x+y}{2}\right) ^ {3}}} $ ,联立解得 $ x=2r $ , $ y=14r $ , $ \mathrm{C} $ 正确.

设地球的密度为 $ \rho $ ,当物块距地心的距离为 $ x $ 时,受到的万有引力为 $ F=G\dfrac{Mm}{{x}^{2}} $ ,其中 $ M=\rho \cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{x}^{3} $ ,解得 $ F=\dfrac{4\mathrm{\pi }\rho Gxm}{3} $ .根据牛顿第二定律,可得加速度为 $ a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{4\mathrm{\pi }\rho G}{3}x $ ,因为 $ x $ 越来越小,所以加速度 $ a $ 越来越小 $ {\rm .} a-t $ 图像的切线斜率 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{4\mathrm{\pi }\rho G}{3}\cdot \dfrac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{4\mathrm{\pi }\rho G}{3}v $ ,因为物块向地心下落,速率越来越大,故 $ a-t $ 图像切线的斜率的绝对值增大,故 $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；速度—时间图像的斜率表示加速度,由以上分析可知,加速度越来越小,故 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

由题图可知 $ {T}_{1}:{T}_{2}={t}_{1}:2{t}_{2}=1:2\sqrt{2} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；当 $ P $ 离行星最近时有 $ 8F=G\dfrac{M{m}_{1}}{{d}_{1}^{2}} $ ,当 $ P $ 离行星最远时有 $ 2F=G\dfrac{M{m}_{1}}{{d}_{2}^{2}} $ ；当 $ Q $ 离行星最近时有 $ 9F=G\dfrac{M{m}_{2}}{{l}_{1}^{2}} $ ,当 $ Q $ 离行星最远时有 $ F=G\dfrac{M{m}_{2}}{{l}_{2}^{2}} $ ，由开普勒第三定律可知 $ {\left(\dfrac{{T}_{1}}{{T}_{2}}\right) ^ {2}}={\left(\dfrac{\dfrac{{d}_{1}+{d}_{2}}{2}}{\dfrac{{l}_{1}+{l}_{2}}{2}}\right) ^ {3}} $ ,联立解得 $ {d}_{1}:{l}_{1}=2:3 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由前面分析可知 $ \dfrac{8F}{9F}=\dfrac{G\dfrac{M{m}_{1}}{{d}_{1}^{2}}}{G\dfrac{M{m}_{2}}{{l}_{1}^{2}}} $ ,解得 $ {m}_{1}:{m}_{2}=32:81 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.