第1节 行星的运动

根据开普勒第三定律可知， $ k $ 与轨道半长轴 $ a $ 和周期 $ T $ 无关，仅取决于中心天体的质量，故 $ \mathrm{A} $ 正确， $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误；地球绕太阳运动和月球绕地球运动的中心天体不同， $ k $ 不同，故 $ \mathrm{D} $ 错误.

由开普勒第三定律 $ \dfrac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=k $ 可知,土星的轨道半长轴大于地球的轨道半长轴,则土星的公转周期比地球的大, $ \mathrm{A} $ 错误；火星绕太阳的运行轨道为椭圆,运行过程中,速率发生变化, $ \mathrm{B} $ 错误；由开普勒第一定律可知,太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上, $ \mathrm{C} $ 正确；由开普勒第二定律可知,同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,但地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等, $ \mathrm{D} $ 错误.

根据对称性可知,盖亚 $ -4\mathrm{b} $ 在 $ b $ 、 $ d $ 两点的加速度大小相等,方向不同,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由于 $ a $ 点是椭圆轨道的近恒星点, $ c $ 点是椭圆轨道的远恒星点,根据开普勒第二定律可知,盖亚 $ -4\mathrm{b} $ 在 $ a $ 点的速率大于在 $ c $ 点的速率,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由于从 $ a $ 点到 $ b $ 点再到 $ c $ 点,盖亚 $ -4\mathrm{b} $ 的速率减小,则盖亚 $ -4\mathrm{b} $ 从 $ b $ 经 $ c $ 到 $ d $ 的时间大于环绕周期的一半,即大于285天,故 $ \mathrm{C} $ 正确；根据开普勒第一定律可知,恒星一定处在椭圆的焦点上,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

依题意,由开普勒第三定律可得 $ \dfrac{{R}_{地}^{3}}{{T}_{地}^{2}}=\dfrac{{R}_{阋}^{3}}{{T}_{阋}^{2}} $ ,其中 $ {T}_{阋}=n{T}_{地} $ , $ {R}_{地}=R $ ,解得阋神星绕太阳运行的轨道半径为 $ {R}_{阋}=\sqrt[3]{{n}^{2}}R $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

设地球半径为 $ R $ ,由几何关系可知卫星 $ A $ 的轨迹半径为 $ r=\dfrac{R}{ \sin {45}^{\circ }}=\sqrt{2}R $ ,设卫星 $ A $ 的周期为 $ {T}_{A} $ ,根据开普勒第三定律可得 $ \dfrac{{r}^{3}}{{R}^{3}}=\dfrac{{T}_{A}^{2}}{{T}_{近}^{2}} $ ,解得 $ {T}_{A}=2.38\mathrm{h} $ ,设接收中心能连续接收到卫星 $ A $ 信号的最长时间为 $ t $ ,由几何关系可得 $ (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{A}}+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{自}})t=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,其中 $ {T}_{自}=24\mathrm{h} $ ，解得 $ t\approx 0.54\mathrm{h} $ ,该接收中心能够连续接收到卫星 $ A $ 信号的最长时间接近 $ 0.55\mathrm{h} $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .