第3~4节综合训练

乒乓球做平抛运动,在空中运动的时间为 $ t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} $ ,水平位移为 $ x={v}_{0}t $ ,结合 $ \sqrt{\dfrac{gh}{2}}⩽ {v}_{0}⩽ \sqrt{\dfrac{9gh}{2}} $ ,解得 $ h⩽ x⩽ 3h $ ,乒乓球的落点区域为六分之一圆环,其内径为 $ 2h $ 、外径为 $ 4h $ ,可得乒乓球第一次与桌面相碰的区域最大面积为 $ {S}_{\mathrm{m}}=\dfrac{1}{6} [\mathrm{\pi } (4h)^{2}-\mathrm{\pi } (2h)^{2} ]=2\mathrm{\pi }{h}^{2} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

$ t=1.4\mathrm{s} $ 时运动员恰好到达最高点,由竖直方向上的运动特点可得 $ {v}_{yt}={v}_{y0}-gt=0 $ ,解得运动员起跳时竖直方向的初速度大小 $ {v}_{y0}=14\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,但此时还有水平分速度,则该运动员起跳速度大于 $ 14\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ t=1.0\mathrm{s} $ 时,运动员竖直方向分速度大小为 $ v{\prime }_{y}={v}_{y0}-gt=4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；根据运动的对称性可知, $ t=1.0\mathrm{s} $ 和 $ t=1.8\mathrm{s} $ 时,竖直分速度大小相等,方向相反, $ y-t $ 图线的切线斜率代表竖直方向的速度,所以 $ t=1.8\mathrm{s} $ 时, $ y-t $ 图线的切线斜率大小为 $ 4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；根据竖直方向的运动规律可知,运动员离跳台底部所在水平面的最大高度为 $ H=h+\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ ,其中 $ t=1.4\mathrm{s} $ ,解得 $ H=12.8\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

小球在 $ B $ 点的速度大小为 $ {v}_{x}={v}_{0} \cos \alpha $ , $ \mathrm{A} $ 错误；小球在 $ A $ 点时竖直方向的速度大小为 $ {v}_{y}={v}_{0} \sin \alpha $ ,则小球从 $ A $ 点运动到 $ B $ 点的时间为 $ t=\dfrac{{v}_{y}}{g}=\dfrac{{v}_{0} \sin \alpha }{g} $ , $ \mathrm{B} $ 错误；小球落到 $ C $ 点前瞬间的速度大小为 $ v=\dfrac{{v}_{x}}{ \sin \theta }=\dfrac{{v}_{0} \cos \alpha }{ \sin \theta } $ , $ \mathrm{C} $ 错误；小球落到 $ C $ 点前瞬间竖直方向的速度大小为 $ v{\prime }_{y}=\dfrac{{v}_{x}}{ \tan \theta }=\dfrac{{v}_{0} \cos \alpha }{ \tan \theta } $ ,小球从 $ B $ 点运动到 $ C $ 点的时间为 $ t^\prime =\dfrac{v{\prime }_{y}}{g}=\dfrac{{v}_{0} \cos \alpha }{g \tan \theta } $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

由题意可知,若两物体在空中能够相遇,在竖直方向应满足 $ \dfrac{1}{2}g{t}^{2}+({v}_{2}t-\dfrac{1}{2}g{t}^{2})=H $ ,代入数据解得 $ t=\dfrac{H}{{v}_{2}} $ , $ \mathrm{A} $ 正确； 由于物体甲、乙的加速度相同,可知甲相对乙做匀速运动,相遇时间为 $ \dfrac{s}{{v}_{1}}=\dfrac{H}{{v}_{2}} $ ,若要物体乙在上升时遇到甲,有 $ \dfrac{{v}_{2}}{g} > \dfrac{H}{{v}_{2}} $ ,解得 $ {v}_{2} > \sqrt{gH} $ ,若要物体乙在下降时遇到甲,有 $ \dfrac{{v}_{2}}{g} < \dfrac{H}{{v}_{2}} < 2\dfrac{{v}_{2}}{g} $ ,解得 $ \dfrac{\sqrt{2gH}}{2} < {v}_{2} < \sqrt{gH} $ , $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{C} $ 错误；若相遇点离地高度为 $ \dfrac{H}{2} $ ,有 $ \dfrac{1}{2}g{t}^{2}=\dfrac{H}{2} $ ,又 $ t=\dfrac{H}{{v}_{2}} $ ,联立解得 $ {v}_{2}=\sqrt{gH} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 为确保小球离开斜槽后做平抛运动,即离开斜槽末端的速度要水平,故应该在实验前先将斜槽末端调水平.

（2） 为保证每次小球脱离斜槽后均沿同一条抛物线运动,即平抛的初速度大小相同,故需要保证每次小球于斜槽轨道的同一位置由静止释放.

（3） 根据平抛运动规律有 $ x={v}_{0}t $ , $ y=\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ ,整理可得 $ y=\dfrac{g}{2{v}_{0}^{2}}{x}^{2} $ ,则 $ y-{x}^{2} $ 图像的斜率为 $ \dfrac{g}{2{v}_{0}^{2}}=k=2.5{\mathrm{m}}^{-1} $ ,而 $ g $ 取 $ 9.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,可得小球做平抛运动的初速度大小为 $ {v}_{0}=1.4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（1） 若用平行光照射,则小球在毛玻璃上的投影即为小球在竖直方向上的位移,由 $ \mathrm{\Delta }h=g{T}^{2} $ ,可得 $ g=\dfrac{{h}_{35}-{h}_{13}}{4{T}^{2}}=\dfrac{[(13.60-4.20)-(4.20-1.00)]×{10}^{-2}}{4×{0.04}^{2}}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=9.69\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

（2） 由题图丁可知，小球在毛玻璃上的影子做匀速直线运动.影子的速度为 $ {v}_{1}=\dfrac{h{\prime }_{2}-h{\prime }_{1}}{T}=\dfrac{4.00×{10}^{-2}}{0.04}\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.00\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（3） 如图所示，设小球在毛玻璃上的投影 $ NB=Y $ ,则经过时间 $ t $ 后小球运动的水平位移大小为 $ x={v}_{0}t $ ,竖直位移大小为 $ y=\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ ,由相似三角形得 $ \dfrac{{v}_{0}t}{d}=\dfrac{\dfrac{1}{2}g{t}^{2}}{Y} $ ,有 $ Y=\dfrac{gd}{2{v}_{0}}t $ ,可知 $ \dfrac{gd}{2{v}_{0}}={v}_{1} $ ,解得 $ {v}_{0}=9.69\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（1） 如果弹珠从竖直网的顶端刚好通过,设弹珠弹出的速度大小为 $ {v}_{1} $ ,则 $ H-h=\dfrac{1}{2}g{t}_{1}^{2} $ , $ L={v}_{1}{t}_{1} $ ,

解得 $ {v}_{1}=3\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

若弹珠刚好落在收集袋的右边缘,

设弹珠的弹出速度大小为 $ {v}_{2} $ ,则 $ H=\dfrac{1}{2}g{t}_{2}^{2} $ , $ L+x={v}_{2}{t}_{2} $ ,

解得 $ {v}_{2}=4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

则若网高 $ h=0.25\mathrm{m} $ ,弹珠能落入收集袋的弹出速度 $ v $ 的取值范围是 $ 3\mathrm{m}/\mathrm{s}⩽ v < 4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（2） 设网高为 $ h^\prime $ 时,弹珠刚好从网顶端通过,恰好落在收集袋的右边缘,

则 $ H-h^\prime =\dfrac{1}{2}gt{\prime }^{2} $ , $ L={v}_{2}t^\prime $ ,

解得 $ h^\prime =0.3375\mathrm{m} $ ,

所以网高 $ h $ 至少 $ 0.3375\mathrm{m} $ 时,无论弹珠弹出速度多大,都无法落入收集袋.