专题2 关联速度
一、刷题型
1．如图所示，光滑水平面上固定两个光滑立柱 $ A $ 和 $ B $ ，两根柔软轻绳对称地跨过两立柱，每根绳的一端系在物体上的 $ O $ 点，另一端施加沿绳方向的等大外力，使物体能沿两绳夹角的角平分线运动，物体质量为 $ m $ .当绳子之间夹角为 $ 2\alpha $ 时，绳端速度大小为 $ v $ ，拉力大小为 $ F $ ，此时物体的速度大小 $ {v}_{物} $ 和加速度大小 $ {a}_{物} $ 表达式正确的是（ ）
A． $ {v}_{物}=\dfrac{2v}{ \cos \alpha } $
B． $ {v}_{物}=2v \cos \alpha $
C． $ {a}_{物}=\dfrac{2F}{m \cos \alpha } $
D． $ {a}_{物}=\dfrac{2F \cos \alpha }{m} $
答案：D
解析：把物体的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，对左边的绳子，画出物体的速度分解图，如图所示，则 $ {v}_{物}=\dfrac{v}{ \cos \alpha } $ ，故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；根据牛顿第二定律有 $ 2F \cos \alpha =m{a}_{物} $ ，解得 $ {a}_{物}=\dfrac{2F \cos \alpha }{m} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误， $ \mathrm{D} $ 正确.
2．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体 $ A $ 和 $ B $ ，它们通过一根绕过定滑轮 $ O $ 的不可伸长的轻绳相连接，物体 $ A $ 以速度 $ {v}_{A}=20\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 匀速向右运动，在绳子与轨道成 $ \alpha ={30}^{\circ } $ 角时，物体 $ B $ 的速度大小 $ {v}_{B} $ 为（ ）
A． $ 10\sqrt{3}\mathrm{m}/\mathrm{s} $
B． $ \dfrac{40\sqrt{3}}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s} $
C． $ 40\mathrm{m}/\mathrm{s} $
D． $ 10\mathrm{m}/\mathrm{s} $
答案：B
解析：将 $ B $ 的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有 $ {v}_{2}={v}_{A} $ ， $ {v}_{2}={v}_{B} \cos {30}^{\circ } $ ，解得 $ {v}_{B}=\dfrac{{v}_{A}}{ \cos {30}^{\circ }}=\dfrac{40\sqrt{3}}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确.
3．如图所示，“ $ \mathrm{\angle } $ ”形光滑硬杆固定在竖直平面内， $ \mathrm{\angle }P={60}^{\circ } $ ，底边水平.均可视为质点的带孔小球甲、乙间用轻质细杆相连，分别套在“ $ \mathrm{\angle } $ ”形杆上的 $ A $ 、 $ C $ 点，开始时两球在同一竖直线上处于静止状态，某时刻给乙球一个向右的轻微扰动使它们开始运动，当甲球运动到 $ B $ 点时，速度大小为 $ v $ ，轻质细杆与水平方向的夹角为 $ {60}^{\circ } $ ，则此时乙球的速度大小为（ ）
A． $ \dfrac{v}{2} $
B． $ v $
C． $ \sqrt{3}v $
D． $ 2v $
答案：B
解析：如图所示，当甲球运动到 $ B $ 点时，速度大小为 $ v $ ，轻质细杆与水平方向的夹角为 $ {60}^{\circ } $ ，设此时乙球的速度大小为 $ {v}_{乙} $ ，根据甲、乙两球沿杆方向的分速度大小相等，可得 $ v \cos {60}^{\circ }={v}_{乙} \cos {60}^{\circ } $ ，解得 $ {v}_{乙}=v $ ， $ \mathrm{B} $ 正确.
4．曲柄连杆结构是发动机的主要运动结构，其用途是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，同时将作用于活塞上的力转变为曲轴对外输出的转矩，以驱动车轮转动.其结构简化示意图如图所示，曲轴可绕固定的 $ O $ 点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的 $ A $ 点和活塞上的 $ B $ 点.若曲轴绕 $ O $ 点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向做匀速直线运动
B．当 $ OA $ 与 $ AB $ 垂直时，若 $ AB $ 与水平方向夹角为 $ \theta $ ，则 $ {v}_{A} \cos \theta ={v}_{B} $
C．当 $ OA $ 与 $ AB $ 共线时， $ A $ 点与 $ B $ 点的速度大小相等
D．当 $ OA $ 与 $ OB $ 垂直时， $ A $ 点与 $ B $ 点的速度大小相等
答案：D
解析：设 $ A $ 点的速度大小为 $ {v}_{A} $ ，当 $ OA $ 与 $ AB $ 垂直时， $ AB $ 与水平方向的夹角为 $ \theta $ ，则 $ {v}_{B} \cos \theta ={v}_{A} $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；当 $ OA $ 与 $ AB $ 共线时， $ {v}_{A} $ 在沿杆方向的分量为零，此时 $ B $ 点速度为零， $ A $ 点与 $ B $ 点的速度大小不相等， $ \mathrm{C} $ 错误；当 $ OA $ 与 $ OB $ 垂直时，设 $ AB $ 与水平方向的夹角为 $ \alpha $ ，则 $ {v}_{A} \cos \alpha ={v}_{B} \cos \alpha $ ，即 $ {v}_{A}={v}_{B} $ ， $ \mathrm{D} $ 正确；根据前面分析可知活塞在水平方向做变速直线运动， $ \mathrm{A} $ 错误.
5．如图所示，斜面体 $ P $ 高为 $ H $ 、底边长为 $ L $ ，放在水平光滑地面上.斜面体上方某位置固定一套管，细长直杆 $ Q $ 穿过套管，在套管约束下只能沿竖直方向运动.开始时直杆 $ Q $ 和 $ P $ 刚好接触，释放直杆 $ Q $ 后， $ P $ 沿地面向右运动，则 $ P $ 和 $ Q $ 的速度大小之比为（ ）
A． $ \dfrac{L}{H} $
B． $ \dfrac{H}{L} $
C． $ \sqrt{\dfrac{L}{H}} $
D． $ \sqrt{\dfrac{H}{L}} $
答案：A
解析：如图所示，设斜面倾角为 $ \theta $ ，直杆和斜面体沿垂直于接触面方向的分速度大小相等，有 $ {v}_{Q} \cos \theta ={v}_{P} \sin \theta $ ，由几何关系得 $ \tan \theta =\dfrac{H}{L} $ ，则 $ \dfrac{{v}_{P}}{{v}_{Q}}=\dfrac{ \cos \theta }{ \sin \theta }=\dfrac{1}{ \tan \theta }=\dfrac{L}{H} $ ， $ \mathrm{A} $ 正确.
