课时1 力的合成

根据题意可知, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 共同作用的效果与 $ F $ 单独作用的效果相同,根据合力与分力的定义可知 $ F $ 为 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的合力, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 为 $ F $ 的分力,故 $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；若 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 与竖直方向的夹角均为 $ {60}^{\circ } $ ,根据对称性可知, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 两个力的大小相等,由于此时 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 之间的夹角为 $ {120}^{\circ } $ ,根据平行四边形定则可知,合力 $ F $ 的大小等于 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的大小,即 $ F $ 的大小可能等于 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的大小,故 $ \mathrm{C} $ 正确；当 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的方向均竖直向上时,根据力的合成可知,此时 $ F $ 的大小等于 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的大小之和,当 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 之间存在一定的夹角时,根据平行四边形定则,结合三角形的两边之和大于第三边可知,此时 $ F $ 的大小小于 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 的大小之和,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

根据矢量合成的法则可知, $ {F}_{1} $ 和 $ {F}_{2} $ 的合力与 $ {F}_{5} $ 等大反向, $ {F}_{3} $ 和 $ {F}_{4} $ 的合力与 $ {F}_{5} $ 等大反向,则这五个力的合力大小等于 $ 5\mathrm{N} $ ,方向水平向右.故选 $ \mathrm{B} $ .

$ 4F $ 与 $ F $ 两力的合力为 $ 3F $ ,沿 $ 4F $ 的方向； $ 3F $ 与 $ 6F $ 两力的合力为 $ 3F $ ,沿 $ 6F $ 的方向； $ 2F $ 与 $ 5F $ 两力的合力为 $ 3F $ ,沿 $ 5F $ 的方向.将同一直线上的力合成后,物体受力如图所示,三力大小相等,夹角互为 $ {120}^{\circ } $ ,则合力为0.故选 $ \mathrm{D} $ .

解法一：利用平行四边形定则,如图甲所示.

甲

最大力为 $ {F}_{1} $ ,根据平行四边形定则可知, $ {F}_{3} $ 与 $ {F}_{4} $ 的合力与 $ {F}_{1} $ 相等, $ {F}_{2} $ 与 $ {F}_{5} $ 的合力与 $ {F}_{1} $ 相等,这五个力的合力为 $ 3{F}_{1} $ ,已知 $ {F}_{2}=10\mathrm{N} $ ,根据几何关系可知 $ {F}_{1}=20\mathrm{N} $ ,所以合力的大小为 $ F=3{F}_{1}=60\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

解法二：利用三角形定则,如图乙所示.

乙

将 $ {F}_{2} $ 、 $ {F}_{3} $ 分别平移到 $ {F}_{5} $ 与 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{4} $ 与 $ {F}_{1} $ 的末端之间, $ {F}_{3} $ 、 $ {F}_{4} $ 的合力与 $ {F}_{1} $ 相等, $ {F}_{5} $ 、 $ {F}_{2} $ 的合力与 $ {F}_{1} $ 相等,由几何关系可知 $ {F}_{1}=2{F}_{2}=20\mathrm{N} $ ,故这五个力的合力大小为 $ F=3{F}_{1}=60\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

解法三：利用对称法,如图丙所示.

丙

由正六边形特点和对称性可知, $ {F}_{2} $ 和 $ {F}_{3} $ 的夹角为 $ {120}^{\circ } $ , $ {F}_{2}={F}_{3} $ ,则合力在其夹角的角平分线上,合力的大小等于其分力的大小,故 $ {F}_{2} $ 和 $ {F}_{3} $ 的合力大小 $ {F}_{23}={F}_{2}=10\mathrm{N} $ ,同理, $ {F}_{4} $ 和 $ {F}_{5} $ 的合力也在其夹角的角平分线上,由几何关系可知 $ {F}_{1}=2{F}_{2}=20\mathrm{N} $ , $ {F}_{45}=30\mathrm{N} $ ,故这五个力的合力大小为 $ F={F}_{1}+{F}_{23}+{F}_{45}=60\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

解法四：利用正交分解法,以点 $ O $ 为原点、 $ {F}_{1} $ 所在方向为 $ x $ 轴建立如图丁所示的平面直角坐标系.

丁

将 $ {F}_{2}\mathrm{～}{F}_{5} $ 正交分解,在 $ y $ 轴方向合力为零,故这五个力的合力等于在 $ x $ 轴方向的合力,有 $ F={F}_{1}+{F}_{2} \cos {60}^{\circ }+{F}_{3} \cos {60}^{\circ }+{F}_{4} \cos {30}^{\circ }+{F}_{5} \cos {30}^{\circ } $ ,已知 $ {F}_{2}=10\mathrm{N} $ ,由几何关系得 $ {F}_{1}=20\mathrm{N} $ , $ {F}_{3}={F}_{2}=10\mathrm{N} $ , $ {F}_{4}={F}_{5}=10\sqrt{3}\mathrm{N} $ ,故这五个力的合力大小为 $ F=60\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

合力 $ F $ 的取值范围是 $ |{F}_{1}-{F}_{2}|⩽ F⩽ {F}_{1}+{F}_{2} $ ,所以合力 $ F $ 不一定总比分力 $ {F}_{1} $ 和 $ {F}_{2} $ 中的任何一个力都大,故 $ \mathrm{A} $ 错误.若 $ {F}_{1} $ 和 $ {F}_{2} $ 大小不变，根据平行四边形定则可知， $ \theta $ 越小,合力 $ F $ 越大,故 $ \mathrm{B} $ 正确.若夹角 $ \theta $ 不变, $ {F}_{1} $ 大小不变, $ {F}_{2} $ 增大,当 $ \theta $ 为钝角时,则可能出现如图所示的情况, $ F{\prime }_{合} < {F}_{合} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.由题图可得,当 $ \theta ={180}^{\circ } $ 时,合力最小为 $ 2\mathrm{N} $ ,即 $ |{F}_{1}-{F}_{2}|=2\mathrm{N} $ ,当 $ \theta ={90}^{\circ } $ 时,合力为 $ 10\mathrm{N} $ ,即 $ \sqrt{{F}_{1}^{2}+{F}_{2}^{2}}=10\mathrm{N} $ ,解得 $ {F}_{1}=6\mathrm{N} $ , $ {F}_{2}=8\mathrm{N} $ 或 $ {F}_{1}=8\mathrm{N} $ , $ {F}_{2}=6\mathrm{N} $ ,故 $ 2\mathrm{N}⩽ F⩽ 14\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

设物体的重力为 $ G $ ,由于定滑轮只改变力的方向,不改变力的大小,所以拉力的大小关系为 $ {T}_{1}={T}_{2}={T}_{3}=G $ ,由于轴心对定滑轮的支持力大小等于细绳对定滑轮的合力大小,而已知两个分力的大小相等,其合力与两分力的夹角 $ \theta $ 满足关系式 $ F=2G \cos \dfrac{\theta }{2} $ ,可知 $ \theta $ 越大, $ F $ 越小,故 $ {N}_{1} > {N}_{2} > {N}_{3} $ ,选项 $ \mathrm{C} $ 正确.

三个共点力的合力最大值为三个力的代数和,合力最小值不一定是零,只有当其中一个力的大小在另外两个力的合力范围内,三个力的最小合力才会为零, $ \mathrm{A} $ 错误；由平行四边形定则可知, $ F $ 可能与 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 、 $ {F}_{3} $ 中的某一个力相等, $ \mathrm{B} $ 正确；设 $ {F}_{1}=3\mathrm{N} $ , $ {F}_{2}=6\mathrm{N} $ , $ {F}_{3}=8\mathrm{N} $ , $ {F}_{2} $ 与 $ {F}_{3} $ 的合力介于 $ 2\mathrm{N} $ 到 $ 14\mathrm{N} $ 之间, $ {F}_{1} $ 的大小处于该范围之间,只要适当调整它们之间的夹角,就能使 $ {F}_{2} $ 、 $ {F}_{3} $ 的合力与 $ {F}_{1} $ 等大、反向,三力的合力就为零,同理可知,若 $ {F}_{1}:{F}_{2}:{F}_{3}=3:6:2 $ ,三力的合力不可能为零, $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

设两个相等的共点力大小为 $ {F}_{1}={F}_{2}=F $ ,由题意知当它们间的夹角为 $ {90}^{\circ } $ 时,合力大小为 $ 10\mathrm{N} $ ,由勾股定理得 $ 10\mathrm{N}=\sqrt{2{F}^{2}} $ ,解得 $ F=5\sqrt{2}\mathrm{N} $ ,那么当 $ {F}_{1} $ 不变, $ {F}_{2} $ 旋转 $ {30}^{\circ } $ 时,二力夹角为 $ {120}^{\circ } $ 或 $ {60}^{\circ } $ ,结合平行四边形定则,由几何关系可知二者的合力大小为 $ {F}_{合1}=2F \cos \dfrac{{120}^{\circ }}{2}=5\sqrt{2}\mathrm{N} $ ,或 $ {F}_{合2}=2F \cos \dfrac{{60}^{\circ }}{2}=5\sqrt{6}\mathrm{N} $ ,故选 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ O $ 是等边三角形 $ ABC $ 的中心,现增加三个力,分别用矢量 $ \stackrel{\to }{AO} $ 、 $ \stackrel{\to }{BO} $ 、 $ \stackrel{\to }{CO} $ 表示,如图所示,因为矢量 $ \stackrel{\to }{AO} $ 、 $ \stackrel{\to }{BO} $ 、 $ \stackrel{\to }{CO} $ 互成 $ {120}^{\circ } $ 夹角,故 $ \stackrel{\to }{AO} $ 、 $ \stackrel{\to }{BO} $ 、 $ \stackrel{\to }{CO} $ 三者的合力为零,不影响 $ \stackrel{\to }{DA} $ 、 $ \stackrel{\to }{DB} $ 、 $ \stackrel{\to }{DC} $ 三力的合成,根据三角形定则可知, $ \stackrel{\to }{DA} $ 与 $ \stackrel{\to }{AO} $ 的合力为 $ \stackrel{\to }{DO} $ , $ \stackrel{\to }{DB} $ 与 $ \stackrel{\to }{BO} $ 的合力为 $ \stackrel{\to }{DO} $ , $ \stackrel{\to }{DC} $ 与 $ \stackrel{\to }{CO} $ 的合力为 $ \stackrel{\to }{DO} $ ,故 $ \stackrel{\to }{DA} $ 、 $ \stackrel{\to }{DB} $ 、 $ \stackrel{\to }{DC} $ 三个力的合力大小用 $ DO $ 长度可表示为 $ 3DO $ , $ \mathrm{C} $ 正确.

$ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 同时增大一倍,即都变为原来的2倍,根据平行四边形定则可知,合力将变为原来的2倍,即 $ F $ 一定增大一倍,故 $ \mathrm{A} $ 正确；根据平行四边形定则, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 都增大 $ 10\mathrm{N} $ ,若方向相同, $ F $ 增大 $ 20\mathrm{N} $ ,若方向相反, $ F $ 不变,若 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 不共线,则 $ F $ 的增加量应该在 $ 0\sim 20\mathrm{N} $ 之间,不一定增大 $ 10\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误； $ {F}_{1} $ 增大 $ 10\mathrm{N} $ , $ {F}_{2} $ 减小 $ 10\mathrm{N} $ ,当 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 不共线时, $ F $ 的方向一定变化,故 $ \mathrm{C} $ 错误；如图所示,若 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 中的一个增大（图中的 $ {F}_{1} $ 增大）,根据平行四边形定则可知,合力 $ F $ 可能减小,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

每根橡皮条被拉伸至长度为 $ 2L $ 时,根据胡克定律可知,每根橡皮条的弹力大小为 $ {F}_{弹}=k(2L-L)=kL $ ,根据几何关系得 $ F=2{F}_{弹} \cos \dfrac{{60}^{\circ }}{2}=\sqrt{3}{F}_{弹} $ ,联立解得劲度系数 $ k=\dfrac{\sqrt{3}F}{3L} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

当弹簧 $ a $ 、 $ b $ 处于伸长状态时,产生的弹力沿弹簧向上,大小相等,夹角为 $ {120}^{\circ } $ ,由力的合成的特点可知,合力方向竖直向上,大小与两个弹力大小相等,则有 $ {F}_{合}=F=mg $ ,则小球与弹簧 $ c $ 没有相互作用力.当弹簧 $ a $ 、 $ b $ 处于压缩状态时,产生的弹力沿弹簧向下,大小相等,夹角为 $ {120}^{\circ } $ ,由力的合成的特点可知,合力方向竖直向下,大小与两个弹力相等,则有 $ F{\prime }_{合}=F=mg $ ,易知小球与弹簧 $ c $ 的作用力满足 $ {F}_{c}=F{\prime }_{合}+mg=2mg $ , $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ 正确.

设每根绳的拉力大小为 $ F $ ,则这两根绳拉力的合力 $ {F}_{合}=2F \cos \dfrac{\theta }{2} $ ,方向沿两绳夹角的角平分线,与水平面的夹角为 $ \alpha $ ,受力分析如图所示,对轮胎,由平衡条件有 $ {F}_{合} \cos \alpha ={F}_{\mathrm{f}} $ ,解得 $ F=\dfrac{5\sqrt{3}}{9}{F}_{\mathrm{f}} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误, $ \mathrm{C} $ 正确.