10.1.3 古典概型

概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率,“某彩票的中奖概率为 $ \dfrac{1}{100} $ ”意味着购买彩票中奖的可能性为 $ \dfrac{1}{100} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由概率的定义,可知事件 $ A $ 的概率 $ P(A) $ 的值满足 $ 0\leqslant P(A)\leqslant 1 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；必然事件的概率为1,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由概率的定义可知, $ \mathrm{C} $ 正确；不可能事件的概率为0,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点,每一种和的概率不相等,则不满足古典概型的定义,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点，有无限个样本点,不满足古典概型的定义,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,样本点4个,每一个人被选中的概率均相等,满足古典概型的定义,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点,有无限个样本点,不满足古典概型的定义,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,试验结果有无数个,显然不是古典概型,故 $ \mathrm{A} $ 错误；对于 $ \mathrm{B} $ ,试验结果有限且等可能,故 $ \mathrm{B} $ 正确；对于 $ \mathrm{C} $ ,试验结果有限且等可能,故 $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ ,显然试验并非等可能,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,抛掷两次的点数共有36种情况,

其中点数之和为8的情况如下： $ (2,6) $ , $ (3,5) $ , $ (4,4) $ , $ (5,3) $ , $ (6,2) $ ,点数之和为9的情况如下： $ (3,6) $ , $ (4,5) $ , $ (5,4) $ , $ (6,3) $ ,点数之和为10的情况如下： $ (4,6) $ , $ (5,5) $ , $ (6,4) $ ,点数之和为11的情况如下： $ (5,6) $ , $ (6,5) $ ,点数之和为12的情况如下： $ (6,6) $ ,故点数之和不小于8的情况共有 $ 5+4+3+2+1=15 $ 种,则点数之和不小于8的概率为 $ \dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

4名男志愿者用1,2,3,4表示,2名女志愿者用 $ a $ , $ b $ 表示,

从这6名志愿者中随机抽取2人的样本点有 $ ｛1,2｝ $ , $ ｛1,3｝ $ , $ ｛1,4｝ $ , $ ｛1 $ , $ a｝ $ , $ ｛1 $ , $ b｝ $ , $ ｛2,3｝ $ , $ ｛2,4｝ $ , $ ｛2 $ , $ a｝ $ , $ ｛2 $ , $ b｝ $ , $ ｛3,4｝ $ , $ ｛3 $ , $ a｝ $ , $ ｛3 $ , $ b｝ $ , $ ｛4 $ , $ a｝ $ , $ ｛4 $ , $ b｝ $ , $ ｛a $ , $ b｝ $ ,共15个.

其中抽取的2名志愿者中有一男一女的样本点有 $ ｛1 $ , $ a｝ $ , $ ｛1 $ , $ b｝ $ , $ ｛2 $ , $ a｝ $ , $ ｛2 $ , $ b｝ $ , $ ｛3 $ , $ a｝ $ , $ ｛3 $ , $ b｝ $ , $ ｛4 $ , $ a｝ $ , $ ｛4 $ , $ b｝ $ ,共8个,

所以抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为 $ \dfrac{8}{15} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意,样本空间中的样本点为（立夏,小满）,（立夏,芒种）,（立夏,夏至）,（立夏,小暑）,（立夏,大暑）,（小满,芒种）,（小满,夏至）,（小满,小暑）,（小满,大暑）,（芒种,夏至）,（芒种,小暑）,（芒种,大暑）,（夏至,小暑）,（夏至,大暑）,（小暑,大暑）,共15个,其中任选两个节气在同一个月的样本点有3个,所以所求概率 $ P=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5} $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

$ {000}_{(2)}=0×{2}^{2}+0×{2}^{1}+0×{2}^{0}=0 $ ,

$ {001}_{(2)}=0×{2}^{2}+0×{2}^{1}+1×{2}^{0}=1 $ ,

$ {010}_{(2)}=0×{2}^{2}+1×{2}^{1}+0×{2}^{0}=2 $ ，

$ {110}_{(2)}=1×{2}^{2}+1×{2}^{1}+0×{2}^{0}=6 $ ,

$ {101}_{(2)}=1×{2}^{2}+0×{2}^{1}+1×{2}^{0}=5 $ ,

$ {111}_{(2)}=1×{2}^{2}+1×{2}^{1}+1×{2}^{0}=7 $ ,

可得二进制数所对应的十进制数大于3的有3个,

则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为 $ \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

要使 $ a $ , $ b {\rm ,4} $ 能够构成钝角三角形,则 $ a $ , $ b {\rm ,4} $ 需要满足 $ {a}^{2}+{b}^{2} < {4}^{2} $ 或 $ {a}^{2}+{4}^{2} < {b}^{2} $ 或 $ {4}^{2}+{b}^{2} < {a}^{2} $ ,且能够满足三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

样本点的总数是36,结合上述条件可知,当 $ a=1 $ 时,均不符合要求,有0种情况；

当 $ a=2 $ 时, $ b=3 {\rm ,5} $ 符合要求,有2种情况；

当 $ a=3 $ 时, $ b=2 {\rm ,6} $ 符合要求,有2种情况；

当 $ a=4 $ 时, $ b=6 $ 符合要求,有1种情况；

当 $ a=5 $ 时, $ b=2 $ 符合要求,有1种情况；

当 $ a=6 $ 时, $ b=3 {\rm ,4} $ 符合要求,有2种情况.

所以能构成钝角三角形的共有8种情况.

故 $ a $ , $ b {\rm ,4} $ 能够构成钝角三角形的概率 $ P=\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

将两名男生编号为 $ a $ , $ b $ ,三名女生编号为1,2,3,记 $ A= $ “抽到的两人都是女生”.

从两名男生和三名女生中任意抽取两人,在有放回简单随机抽样方式下的样本空间 $ {\mathrm{\Omega }}_{1}=｛(a,a) $ , $ (a,b) $ , $ (a,1) $ , $ (a,2) $ , $ (a,3) $ , $ (b,a) $ , $ (b,b) $ , $ (b,1) $ , $ (b,2) $ , $ (b,3) $ , $ (1,a) $ , $ (1,b) $ , $ (1,1) $ , $ (1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (2,a) $ , $ (2,b) $ , $ (2,1) $ , $ (2,2) $ , $ (2,3) $ , $ (3,a) $ , $ (3,b) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2) $ , $ (3,3)｝ $ ,共25个样本点,其中 $ A=｛(1,1) $ , $ (1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (2,1) $ , $ (2,2) $ , $ (2,3) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2) $ , $ (3,3)｝ $ ,有9个样本点,所以 $ P(A)=\dfrac{9}{25} $ .

在不放回简单随机抽样方式下的样本空间 $ {\mathrm{\Omega }}_{2}=｛(a,b) $ , $ (a,1) $ , $ (a,2) $ , $ (a,3) $ , $ (b,a) $ , $ (b,1) $ , $ (b,2) $ , $ (b,3) $ , $ (1,a) $ , $ (1,b) $ , $ (1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (2,a) $ , $ (2,b) $ , $ (2,1) $ , $ (2,3) $ , $ (3,a) $ , $ (3,b) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2)｝ $ ,共20个样本点,其中 $ A=｛(1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (2,1) $ , $ (2,3) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2)｝ $ ,有6个样本点,所以 $ P(A)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

从2,3,4,8,9中任取两个不同的数,记为 $ (a,b) $ ,共有20个样本点,分别为 $ (4,2) $ , $ (4,3) $ , $ (4,8) $ , $ (4,9) $ , $ (2,4) $ , $ (2,3) $ , $ (2,8) $ , $ (2,9) $ , $ (3,4) $ , $ (3,2) $ , $ (3,8) $ , $ (3,9) $ , $ (8,4) $ , $ (8,2) $ , $ (8,3) $ , $ (8,9) $ , $ (9,4) $ , $ (9,2) $ , $ (9,3) $ , $ (9,8) $ ,

记“ $ { \log }_{a}b $ 为正整数”为事件 $ A $ ,所以事件 $ A $ 包含3个样本点,分别为 $ (2,4) $ , $ (3,9) $ , $ (2,8) $ ,

故其概率为 $ P(A)=\dfrac{3}{20} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

将6把钥匙分别记为 $ a $ , $ b $ , $ c $ , $ d $ , $ e $ , $ f $ ,不妨设能打开锁的为钥匙 $ a $ .

从中任取2把有 $ ab $ , $ ac $ , $ ad $ , $ ae $ , $ af $ , $ bc $ , $ bd $ , $ be $ , $ bf $ , $ cd $ , $ ce $ , $ cf $ , $ de $ , $ df $ , $ ef $ ,共15种情况,能将锁打开的情况有5种,分别为 $ ab $ , $ ac $ , $ ad $ , $ ae $ , $ af $ ,故所求概率为 $ \dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

方式①有放回依次抽取两球,抽球的总方法数为 $ 6×6=36 $ ,

其中标号之和大于4的情况有：红2红3,红2绿3,红3红2,红3红3,红3绿2,红3绿3,绿2绿3,绿2红3,绿3绿2,绿3红2,绿3红3,绿3绿3,共12种,

所以 $ {p}_{1}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3} $ ；

方式②不放回依次抽取两球,抽球的总方法数为 $ 6×5=30 $ ,

其中标号之和大于4的情况有：红2红3,红2绿3,红3红2,红3绿2,红3绿3,绿2绿3,绿2红3,绿3绿2,绿3红2,绿3红3,共10种,

所以 $ {p}_{2}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3} $ ；

方式③按颜色用分层抽样方法抽取两球,即红、绿球各取一个,总方法数为 $ 3×3=9 $ ,

其中标号之和大于4的情况有：红2绿3,红3绿2,红3绿3,共3种,

所以 $ {p}_{3}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} $ ,所以 $ {p}_{1}={p}_{2}={p}_{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

按照题中运算规律,正整数6的运算过程为 $ 6\to 3\to 10\to 5\to 16\to 8\to 4\to 2\to 1 $ ,运算次数为8；

正整数7的部分运算过程为 $ 7\to 22\to 11\to 34\to 17\to 52\to 26\to 13\to 40\to 20\to 10 $ ,

当运算到10时,运算次数为10,由正整数6的运算过程可知,

正整数7总的运算次数为 $ 10+6=16 $ ；

正整数8的运算次数为3；

正整数9的部分运算过程为 $ 9\to 28\to 14\to 7 $ ,当运算到7时,运算次数为3,

由正整数7的运算过程可知,正整数9总的运算次数为 $ 3+16=19 $ .

正整数10的运算次数为6.

故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数,

从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的所有情况为 $ (6,7) $ , $ (6,8) $ , $ (6,9) $ , $ (6,10) $ , $ (7,8) $ , $ (7,9) $ , $ (7,10) $ , $ (8,9) $ , $ (8,10) $ , $ (9,10) $ ,共10种,

其中的运算次数均为偶数的所有情况为 $ (6,7) $ , $ (6,10) $ , $ (7,10) $ ,共3种,

故运算次数均为偶数的概率为 $ \dfrac{3}{10} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

从 $ M $ 中随机取出两个元素,组成一个有序数对 $ (x,y) $ ,则样本空间 $ \mathrm{\Omega }=｛(-2,-1) $ , $ (-1,-2) $ , $ (-2,1) $ , $ (1,-2) $ , $ (-2,2) $ , $ (2,-2) $ , $ (-1,1) $ , $ (1,-1) $ , $ (-1,2) $ , $ (2,-1) $ , $ (1,2) $ , $ (2,1)｝ $ , $ x $ 为正数且 $ y $ 为正数的样本点为 $ (1,2) $ , $ (2,1) $ ,故所求概率为 $ \dfrac{1}{6} $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

在 $ x $ 为正数的条件下,样本空间变为 $ ｛(1,-2) $ , $ (2,-2) $ , $ (1,-1) $ , $ (2,-1) $ , $ (1,2) $ , $ (2,1)｝ $ , $ y $ 为正数的概率为 $ \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $ , $ \mathrm{B} $ 错误；

$ x $ , $ y $ 中恰有1个为正数的样本点有8个,故所求概率为 $ \dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；

$ x $ , $ y $ 中至少有一个为正数的样本点有10个,故所求概率为 $ \dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6} $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

从1,2,3,5这四个数中随机取出2个不同的数,共有6种情况,所有可能的组合及其差的绝对值如下：

若取1和 $ {\rm 2,} |2-1|=1 $ 不是质数；

若取1和 $ {\rm 3,} |3-1|=2 $ 是质数；

若取1和 $ {\rm 5,} |5-1|=4 $ 不是质数；

若取2和 $ {\rm 3,} |3-2|=1 $ 不是质数；

若取2和 $ {\rm 5,} |5-2|=3 $ 是质数；

若取3和 $ {\rm 5,} |5-3|=2 $ 是质数.

满足它们差的绝对值为质数的组合为 $ (1,3) $ , $ (2,5) $ , $ (3,5) $ ,共3种情况,

所以所求事件的概率为 $ \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} $ .