1．已知 $ {z}_{1}=3+2\mathrm{i} $ ， $ {z}_{2}=6-5\mathrm{i} $ ，则 $ {z}_{1}+{z}_{2} $ 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
已知 $ {z}_{1}=3+2\mathrm{i} $ , $ {z}_{2}=6-5\mathrm{i} $ ,则 $ {z}_{1}+{z}_{2}=9-3\mathrm{i} $ ,
所以 $ {z}_{1}+{z}_{2} $ 在复平面内对应的点是 $ (9,-3) $ ,位于第四象限.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．复数 $ (4+\mathrm{i})-(1+5\mathrm{i}) $ 的虚部为（ ）
A． $ -4 $
B．4
C． $ -4\mathrm{i} $
D． $ 4\mathrm{i} $
依题意, $ (4+\mathrm{i})-(1+5\mathrm{i})=3-4\mathrm{i} $ ,其虚部为 $ -4 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
3．已知 $ a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ (a+3\mathrm{i})+(-1+b\mathrm{i})=0 $ ，则（ ）
A． $ a=1 $ , $ b=-3 $
B． $ a=-1 $ , $ b=3 $
C． $ a=-1 $ , $ b=-3 $
D． $ a=1 $ , $ b=3 $
由 $ (a+3\mathrm{i})+(-1+b\mathrm{i})=(a-1)+(3+b)\mathrm{i}=0 $ ,得 $ \begin{cases}a-1=0,\\ 3+b=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=1,\\ b=-3.\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{A} $ .
4．已知 $ |z|=3 $ ，且 $ z+3\mathrm{i} $ 是纯虚数，则 $ z= $ .
$ 3\mathrm{i} $
设 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,因为 $ |z|=3 $ ,所以 $ {a}^{2}+{b}^{2}=9 $ .因为 $ z+3\mathrm{i}=a+b\mathrm{i}+3\mathrm{i}=a+(b+3)\mathrm{i} $ 为纯虚数,所以 $ \begin{cases}a=0,\\ b+3\ne 0,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}a=0,\\ b\ne -3.\end{cases} $ 又 $ {a}^{2}+{b}^{2}=9 $ ,所以 $ \begin{cases}a=0,\\ b=3,\end{cases} $ 所以 $ z=3\mathrm{i} $ .
5．如图所示，在复平面内，复数 $ {z}_{1} $ ， $ {z}_{2} $ 所对应的点分别为 $ A $ ， $ B $ ，则 $ |\overrightarrow {AB}|= $ （ ）
A． $ |{z}_{1}|-|{z}_{2}| $
B． $ |{z}_{1}|+|{z}_{2}| $
C． $ |{z}_{1}-{z}_{2}| $
D． $ |{z}_{1}+{z}_{2}| $
因为 $ \overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {BA} $ , $ {z}_{1} $ 与 $ \overrightarrow {OA} $ 对应, $ {z}_{2} $ 与 $ \overrightarrow {OB} $ 对应,所以 $ |\overrightarrow {AB}|=|\overrightarrow {BA}|=|{z}_{1}-{z}_{2}| $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .
6． $ A $ ， $ B $ 分别是复数 $ {z}_{1} $ ， $ {z}_{2} $ 在复平面内对应的点， $ O $ 是坐标原点.若 $ |{z}_{1}+{z}_{2}|=|{z}_{1}-{z}_{2}| $ ，则 $ △AOB $ 一定为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
根据复数加、减法的几何意义及 $ |{z}_{1}+{z}_{2}|=|{z}_{1}-{z}_{2}| $ ,知以 $ OA $ , $ OB $ 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故 $ △AOB $ 为直角三角形.故选 $ \mathrm{B} $ .
7．已知 $ m\in \boldsymbol{R} $ ，复数 $ {z}_{1}=({m}^{2}+m)+({m}^{2}-1)\mathrm{i} $ ， $ {z}_{2}=2m+\mathrm{i} $ .
（1） 若 $ {z}_{1}-{z}_{2} $ 在复平面内对应的点位于第三象限，求 $ m $ 的取值范围；
（2） 设 $ O $ 为坐标原点， $ {z}_{1} $ ， $ {z}_{2} $ 在复平面内对应的点分别为 $ A $ ， $ B $ （不与 $ O $ 重合），若 $ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=0 $ ，求 $ |{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}| $ .
（1） 【解】依题意, $ {z}_{1}-{z}_{2}=({m}^{2}-m)+({m}^{2}-2)\mathrm{i} $ ,而 $ {z}_{1}-{z}_{2} $ 在复平面内对应的点位于第三象限,
所以 $ \begin{cases}{m}^{2}-m < 0,\\ {m}^{2}-2 < 0,\end{cases} $ 解得 $ 0 < m < 1 $ ,
所以 $ m $ 的取值范围为 $ (0,1) $ .
（2） 依题意, $ \overrightarrow {OA}=({m}^{2}+m,{m}^{2}-1) $ , $ \overrightarrow {OB}=(2m,1) $ ,
由 $ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=0 $ ,得 $ 2m({m}^{2}+m)+{m}^{2}-1={\left(m+1\right) ^ {2}}(2m-1)=0 $ ,解得 $ m=\dfrac{1}{2} $ 或 $ m=-1 $ ,
而 $ m=-1 $ 时, $ A(0,0) $ 为原点,不符合题意,因此 $ m=\dfrac{1}{2} $ , $ {z}_{1}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4}\mathrm{i} $ , $ {z}_{2}=1+\mathrm{i} $ , $ \overline{{z}_{2}}=1-\mathrm{i} $ ,
所以 $ |{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}|=|-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{i}|=\dfrac{\sqrt{2}}{4} $ .
8．已知复数 $ z $ 满足 $ |z+\mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}| $ ，则 $ |z+1+2\mathrm{i}| $ 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C． $ \sqrt{3} $
D． $ \sqrt{5} $
设复数 $ z $ 在复平面内对应的点为 $ Z $ ,因为复数 $ z $ 满足 $ |z+\mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}| $ ,所以由复数的几何意义可知,点 $ Z $ 到点 $ (0,-1) $ 和 $ (0,1) $ 的距离相等,所以在复平面内点 $ Z $ 的轨迹为直线 $ y=0 $ .
又 $ |z+1+2\mathrm{i}| $ 表示点 $ Z $ 到点 $ (-1,-2) $ 的距离,所以问题转化为直线 $ y=0 $ 上的动点 $ Z $ 到定点 $ (-1,-2) $ 距离的最小值,所以 $ |z+1+2\mathrm{i}| $ 的最小值为 $ |-2|=2 $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .
9．已知复数 $ z $ 满足 $ |z+2-\mathrm{i}|=2 $ ，则 $ |z+\mathrm{i}| $ 的最大值为（ ）
A． $ 2+2\sqrt{3} $
B． $ 2+\sqrt{10} $
C． $ 2+2\sqrt{2} $
D．4
由 $ |z+2-\mathrm{i}|=|z-(-2+\mathrm{i})|=2 $ ,得复数 $ z $ 在复平面内对应的点在以 $ (-2,1) $ 为圆心, $ r=2 $ 为半径的圆上 $ {\rm .} |z+\mathrm{i}|=|z-(-\mathrm{i})| $ 表示复数 $ z $ 在复平面内对应的点到点 $ (0,-1) $ 的距离,且点 $ (-2,1) $ 到点 $ (0,-1) $ 的距离 $ d=\sqrt{(-2-0)^{2}+(1+1)^{2}}=2\sqrt{2} $ ,所以 $ |z+\mathrm{i}| $ 的最大值为 $ d+r=2\sqrt{2}+2 $ .
故选 $ \mathrm{C} $ .
10．已知 $ a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ ，复数 $ {z}_{1}=a+\mathrm{i} $ ， $ {z}_{2}=-b-\mathrm{i} $ ，且 $ {z}_{1}+{z}_{2}=0 $ ，若 $ z=a+b\mathrm{i} $ ，则 $ |z-\sqrt{3}\mathrm{i}| $ 的最小值为 .
$ \dfrac{\sqrt{6}}{2} $
由 $ {z}_{1}+{z}_{2}=0 $ 可得 $ a+\mathrm{i}-b-\mathrm{i}=0 $ ,即 $ a=b $ ,
因此 $ |z-\sqrt{3}\mathrm{i}|=|a+ (a-\sqrt{3} )\mathrm{i}|=\sqrt{{a}^{2}+ (a-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}-2\sqrt{3}a+3}=\sqrt{2{\left(a-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^ {2}}+\dfrac{3}{2}}\geqslant \sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} $ ,
当且仅当 $ a=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ 时, $ |z-\sqrt{3}\mathrm{i}| $ 取得最小值 $ \dfrac{\sqrt{6}}{2} $ .
11．已知集合 $ M=｛z\in \boldsymbol{C}\mid \mid z+1\mid =1｝ $ ， $ N=｛z\in \boldsymbol{C}\mid \mid z+\mathrm{i}\mid =\mid z-\mathrm{i}\mid ｝ $ ，则 $ M\cap N= $ .
$ ｛0 $ , $ -2｝ $
在复平面内, $ |z+1|=1 $ 的几何意义是复数 $ z $ 对应的点的集合是以点 $ (-1,0) $ 为圆心,1为半径的圆 $ {\rm .} |z+\mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}| $ 的几何意义是到点 $ A(0,1) $ 和点 $ B(0,-1) $ 距离相等的点的集合,是线段 $ AB $ 的垂直平分线,也就是实轴 $ {\rm .} M\cap N $ 的几何意义是实轴与圆的公共点对应的复数,故 $ z=0 $ 或 $ z=-2 $ , $ \therefore M\cap N=｛0 $ , $ -2｝ $ .