4.3.1 对数的概念+4.3.2 对数的运算

①③④正确,②不正确,只有 $ a > 0 $ 且 $ a\ne 1 $ 时, $ {a}^{x}=N $ 才能化为对数式.

由 $ { \log }_{4}5=b $ ，得 $ {4}^{b}=5 $ ，即 $ {2}^{2b}=5 $ ，而 $ {2}^{a}=3 $ ，所以 $ {2}^{a-2b}=\dfrac{{2}^{a}}{{2}^{2b}}=\dfrac{3}{5} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ {8}^{\frac{2}{3}}+{8}^{{ \log }_{2}3}={({2}^{3})}^{\frac{2}{3}}+{2}^{{ \log }_{2}{3}^{3}}=4+27=31 $ ,故①错误；

$ \dfrac{ \lg 6}{ \lg \dfrac{3}{5}}+ \ln {\mathrm{e}}^{2}=\dfrac{ \lg 2+ \lg 3}{ \lg 3- \lg 5}+2=\dfrac{1- \lg 5+ \lg 3}{ \lg 3- \lg 5}+2 $ , $ \because \dfrac{1- \lg 5+ \lg 3}{ \lg 3- \lg 5}=1+\dfrac{1}{ \lg 3- \lg 5}\ne 1 $ , $ \therefore \dfrac{ \lg 6}{ \lg \dfrac{3}{5}}+ \ln {\mathrm{e}}^{2}=\dfrac{1- \lg 5+ \lg 3}{ \lg 3- \lg 5}+2\ne 3 $ ，故②错误；

$ { \log }_{2}3\cdot { \log }_{3}4={ \log }_{2}4=2 $ ，故③正确；

$ {(\dfrac{9}{{3}^{\sqrt{2}}})}^{2+\sqrt{2}}={(\dfrac{{3}^{2}}{{3}^{\sqrt{2}}})}^{2+\sqrt{2}}={({3}^{2-\sqrt{2}})}^{2+\sqrt{2}}={3}^{2}=9 $ ，

故④正确.故选 $ \mathrm{B} $ .

设第 $ x $ 代种子的数量为 $ {6}^{x-1} $ ，

由题意得 $ {6}^{x-1} > {10}^{6} $ ，得 $ (x-1) \lg 6 > 6 $ ，

即 $ x > \dfrac{6}{ \lg 6}+1 $ .因为 $ \dfrac{6}{ \lg 6}+1=\dfrac{6}{ \lg 3+ \lg 2}+1\approx 8.7 $ ，所以种子数量首次超过100万粒的是第9代种子.故选 $ \mathrm{C} $ .

$ ( \lg 5)^{2}- ( \lg 2)^{2}+\dfrac{2}{1+{ \log }_{2}5}= ( \lg 5+ \lg 2 ) ( \lg 5- \lg 2 )+\dfrac{2}{{ \log }_{2}2+{ \log }_{2}5}= \lg 5- \lg 2+\dfrac{2}{{ \log }_{2}10}= \lg 5- \lg 2+2 \lg 2= \lg 5+ \lg 2=1 $ .

$ \mathrm{A} $ 选项, $ { \log }_{c}a+{ \log }_{c}b={ \log }_{c}(ab) $ ,所以 $ \mathrm{A} $ 错误.

$ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{D} $ 选项,由于 $ { \log }_{c}a\cdot { \log }_{b}c=\dfrac{ \lg a}{ \lg c}\cdot \dfrac{ \lg c}{ \lg b}=\dfrac{ \lg a}{ \lg b}={ \log }_{b}a $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

$ \mathrm{C} $ 选项,不妨设 $ a=b=c=2 $ ,则 $ { \log }_{c}a\cdot { \log }_{c}b=1 $ , $ { \log }_{c}(a+b)=2 $ ,此时 $ { \log }_{c}a\cdot { \log }_{c}b\ne { \log }_{c}(a+b) $ ,所以 $ \mathrm{C} $ 错误.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ { \log }_{3}9+{ \log }_{4}2={ \log }_{3}{3}^{2}+{ \log }_{{2}^{2}}2=2{ \log }_{3}3+\dfrac{1}{2}{ \log }_{2}2=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ {25}^{{ \log }_{5}3}={5}^{2{ \log }_{5}3}={5}^{{ \log }_{5}{3}^{2}}={3}^{2}=9 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ ({ \log }_{2}25+{ \log }_{2}\frac{1}{5})({ \log }_{5}8+{ \log }_{5}\frac{1}{2})=(2{ \log }_{2}5-{ \log }_{2}5)(3{ \log }_{5}2-{ \log }_{5}2)={ \log }_{2}5×2{ \log }_{5}2=2×\dfrac{ \ln 5}{ \ln 2}×\dfrac{ \ln 2}{ \ln 5}=2 $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，因为 $ m > 1 $ 且 $ { \log }_{9}({ \log }_{8}m)=2025 $ ，

所以 $ { \log }_{8}m={9}^{2025}={3}^{4050} $ ，所以 $ { \log }_{{2}^{3}}m=\dfrac{1}{3}{ \log }_{2}m={3}^{4050} $ ，即 $ { \log }_{2}m={3}^{4051} $ ，

所以 $ { \log }_{3}({ \log }_{2}m)=4051 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由 $ { \log }_{7}2=n $ ,得 $ { \log }_{2}7=\dfrac{1}{n} $ ,又 $ { \log }_{2}3=m $ ,所以 $ { \log }_{42}56=\dfrac{{ \log }_{2}({2}^{3}×7)}{{ \log }_{2}(2×3×7)}=\dfrac{3+{ \log }_{2}7}{1+{ \log }_{2}3+{ \log }_{2}7}=\dfrac{3+\dfrac{1}{n}}{1+m+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{3n+1}{mn+n+1} $ .

原式 $ =0-2+{2}^{{ \log }_{2}2+{ \log }_{2}3}=-2+{2}^{{ \log }_{2}(2×3)}=-2+6=4 $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

因为方程 $ {x}^{2}+x\cdot { \log }_{2}6+{ \log }_{2}3=0 $ 的两根为 $ \alpha $ , $ \beta $ ,所以 $ \alpha +\beta =-{ \log }_{2}6 $ ,

故 $ {(\dfrac{1}{4})}^{\alpha }\cdot {(\dfrac{1}{4})}^{\beta }={(\dfrac{1}{4})}^{\alpha +\beta }={(\dfrac{1}{4})}^{-{ \log }_{2}6}={({2}^{-2})}^{-{ \log }_{2}6}=36 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ {5}^{2{ \log }_{5}10}=({5}^{{ \log }_{5}10})^{2}={10}^{2}=100 $ , $ lo{g}_{\sqrt{2}-1} (3+2\sqrt{2} )=lo{g}_{\sqrt{2}-1} (\sqrt{2}+1)^{2}={ \log }_{\sqrt{2}-1} (\sqrt{2}-1)^{-2}=-2 $ ,所以原式 $ =100-2=98 $ .

要使 $ { \log }_{(a-1)}(5-a) $ 有意义，则 $ \begin{cases}5-a > 0,\\ a-1 > 0,\\ a-1\ne 1,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}a < 5,\\ a > 1,\\ a\ne 2,\end{cases} $ 解得 $ 1 < a < 2 $ 或 $ 2 < a < 5 $ ，故实数 $ a $ 的取值范围是 $ (1,2)\cup (2,5) $ .

原方程可化为 $ { \log }_{2}(x+1)={ \log }_{4}(x+4)+1 $ ，即 $ { \log }_{2}(x+1)={ \log }_{4}[4(x+4)] $ ,所以 $ { \log }_{4}{\left(x+1\right) ^ {2}}={ \log }_{4}(4x+16) $ ,即 $ {\left(x+1\right) ^ {2}}=4x+16 $ ，解得 $ x=-3 $ 或 $ x=5 $ .

又 $ x+1 > 0 $ 且 $ x+4 > 0 $ ,所以 $ x > -1 $ .

所以 $ x=-3 $ 不满足题意，因此应舍去.

故方程的解为 $ x=5 $ .

$ 2{ \log }_{5}10-{ \log }_{5}4={ \log }_{5}100-{ \log }_{5}4={ \log }_{5}25=2 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

当 $ a < 0 $ , $ b < 0 $ 时， $ \lg (ab)= \lg (-a)+ \lg (-b) $ , $ \lg \dfrac{a}{b}= \lg (-a)- \lg (-b) $ ,故①②错误；

当 $ ab > 0 $ 时， $ \dfrac{a}{b} > 0 $ , $ \dfrac{1}{2} \lg {\left(\dfrac{a}{b}\right) ^ {2}}= \lg \dfrac{a}{b} $ ,③正确；当 $ ab=1 $ 时,④错误.

因此只有一个正确，故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ { \log }_{\sqrt{3}}(3m)+{ \log }_{3}n={ \log }_{3}(9{m}^{2})+{ \log }_{3}n={ \log }_{3}(9{m}^{2}n) $ , $ { \log }_{\sqrt{3}} (2{m}^{2}+n )={ \log }_{3} (2{m}^{2}+n)^{2} $ ，

所以由 $ { \log }_{\sqrt{3}}(3m)+{ \log }_{3}n={ \log }_{\sqrt{3}}(2{m}^{2}+n) $ ，

得 $ 9{m}^{2}n={\left(2{m}^{2}+n\right) ^ {2}} $ ，化简得 $ 4{m}^{4}-5{m}^{2}n+{n}^{2}=0 $ ，即 $ (4{m}^{2}-n)({m}^{2}-n)=0 $ ，解得 $ 4{m}^{2}=n $ 或 $ {m}^{2}=n $ .

又 $ { \log }_{2}m-{ \log }_{4}n={ \log }_{4}{m}^{2}-{ \log }_{4}n={ \log }_{4}\frac{{m}^{2}}{n} $ ，

所以当 $ 4{m}^{2}=n $ 时， $ { \log }_{2}m-{ \log }_{4}n={ \log }_{4}\frac{1}{4}=-1 $ .

当 $ {m}^{2}=n $ 时， $ { \log }_{2}m-{ \log }_{4}n={ \log }_{4}1=0 $ .

综上， $ { \log }_{2}m-{ \log }_{4}n $ 的值为 $ -1 $ 或0.

故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意得 $ 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{100}= \ln 100+\gamma $ ， $ 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{500}= \ln 500+\gamma $ .

两式相减得 $ \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\cdots +\dfrac{1}{500}= \ln 500- \ln 100= \ln \dfrac{500}{100}= \ln 5 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

设原来的游速为 $ {v}_{0} $ ，则提速后的游速为 $ {v}_{0}+1 $ ，原来的耗氧量的单位数为 $ {O}_{1} $ ，提速后的耗氧量的单位数为 $ {O}_{2} $ ，

则 $ \begin{cases}{v}_{0}=\dfrac{1}{2}{ \log }_{3}\frac{{O}_{1}}{100},\\ {v}_{0}+1=\dfrac{1}{2}{ \log }_{3}\frac{{O}_{2}}{100},\end{cases} $

所以 $ { \log }_{3}\frac{{O}_{2}}{100}-{ \log }_{3}\frac{{O}_{1}}{100}=2 $ ，

$ { \log }_{3}\frac{{O}_{2}}{{O}_{1}}=2 $ ，故 $ \dfrac{{O}_{2}}{{O}_{1}}={3}^{2}=9 $ ，

所以若蛙鱼的游速每增加 $ 1\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.故选 $ \mathrm{B} $ .

$ ({ \log }_{4}3+{ \log }_{8}3)×({ \log }_{3}2+{ \log }_{9}2)-{\mathrm{e}}^{ \ln 2} $

$ =({ \log }_{{2}^{2}}3+{ \log }_{{2}^{3}}3)×({ \log }_{3}2+{ \log }_{{3}^{2}}2)-{\mathrm{e}}^{ \ln 2} $

$ =(\dfrac{1}{2}{ \log }_{2}3+\dfrac{1}{3}{ \log }_{2}3)×({ \log }_{3}2+\dfrac{1}{2}{ \log }_{3}2)-2 $

$ =\dfrac{5}{6}×{ \log }_{2}3×\dfrac{3}{2}×{ \log }_{3}2-2=\dfrac{5}{4}-2=-\dfrac{3}{4} $ .

因为 $ x > 0 $ , $ y > 0 $ , $ -1\leqslant \lg \dfrac{x}{y}\leqslant 2 $ , $ 1\leqslant \lg x\leqslant 4 $ ,可知 $ \dfrac{x}{y} > 0 $ ,

则 $ \lg \dfrac{{x}^{2}}{y}= \lg (\dfrac{x}{y}\cdot x)= \lg \dfrac{x}{y}+ \lg x\in [0,6] $ ,所以 $ \lg \dfrac{{x}^{2}}{y} $ 的取值范围是 $ [0,6] $ .

因为 $ a $ , $ b $ 是方程 $ 2( \ln x)^{2}-3 \ln x+1=0 $ 的两个实数根,

所以由根与系数的关系得 $ \ln a\cdot \ln b=\dfrac{1}{2} $ ,

$ \ln a+ \ln b=\dfrac{3}{2} $ ,

则 $ { \log }_{a}b+{ \log }_{b}a=\dfrac{ \ln b}{ \ln a}+\dfrac{ \ln a}{ \ln b} $

$ =\dfrac{{\left( \ln a\right) ^ {2}}+{\left( \ln b\right) ^ {2}}}{ \ln a\cdot \ln b} $

$ =\dfrac{{\left( \ln a+ \ln b\right) ^ {2}}-2 \ln a\cdot \ln b}{ \ln a\cdot \ln b} $

$ =\dfrac{{\left( \ln a+ \ln b\right) ^ {2}}}{ \ln a\cdot \ln b}-2=\dfrac{5}{2} $ .

由 $ 4a+b=ab-4 $ 得 $ (b-4)a=b+4 $ ,又 $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ,所以 $ b-4 > 0 $ .

同理可得 $ a-1 > 0 $ .

因为 $ 4a+b=ab-4 $ ,

所以 $ ab-4a-b=4 $ ,所以 $ (a-1)(b-4)=8 $ .

故 $ { \log }_{2}(a-1)+{ \log }_{2}(b-4)={ \log }_{2}[(a-1)\cdot (b-4)]={ \log }_{2}8=3 $ .

①当 $ a-1 > 1 $ ,且 $ b-4 > 1 $ 时, $ { \log }_{2}(a-1) > 0 $ , $ { \log }_{2}(b-4) > 0 $ .

由基本不等式知 $ { \log }_{2}(a-1)\cdot { \log }_{2}(b-4)\leqslant \dfrac{{[{ \log }_{2}(a-1)+{ \log }_{2}(b-4)]}^{2}}{4}=\dfrac{9}{4} $ .

当且仅当 $ { \log }_{2}(a-1)={ \log }_{2}(b-4) $ ,即 $ \begin{cases}(a-1)(b-4)=8,\\ a-1=b-4,\end{cases} $

即 $ a=1+2\sqrt{2} $ , $ b=4+2\sqrt{2} $ 时等号成立.

②当 $ 0 < a-1 < 1 $ ,且 $ b-4 > 1 $ 时, $ { \log }_{2}(a-1)\cdot { \log }_{2}(b-4) < 0 $ .

③当 $ 0 < b-4 < 1 $ ,且 $ a-1 > 1 $ 时, $ { \log }_{2}(a-1)\cdot { \log }_{2}(b-4) < 0 $ .

④当 $ 0 < a-1 < 1 $ ,且 $ 0 < b-4 < 1 $ 时,不满足 $ (a-1)(b-4)=8 $ .

⑤当 $ a-1=1 $ ,或 $ b-4=1 $ 时, $ { \log }_{2}(a-1)\cdot { \log }_{2}(b-4)=0 $ .

综上所述, $ { \log }_{2}(a-1)\cdot { \log }_{2}(b-4) $ 的最大值为 $ \dfrac{9}{4} $ .

若 $ x $ 是整数，则 $ [x]+[-x]=x+(-x)=0 $ ；

若 $ x $ 不是整数，则 $ x-[x]\in (0,1) $ ，故 $ 1-x+[x]\in (0,1) $ .

而 $ -[x]-1 $ 是整数， $ -x=-[x]-1+(1-x+[x]) $ ，故由 $ 1-x+[x]\in (0,1) $ 知 $ [-x]=-[x]-1 $ ，所以 $ [x]+[-x]=-1 $ .

记 $ {a}_{k}=[ \lg k]+[ \lg \dfrac{1}{k}] $ ，则 $ {a}_{k}=[ \lg k]+[- \lg k] $ .

对于 $ 1\leqslant k\leqslant 2024： $

当 $ k\in ｛1 {\rm ,10,100} $ , $ 1000｝ $ 时， $ \lg k $ 是整数，此时 $ {a}_{k}=[ \lg k]+[- \lg k]=0 $ ；

当 $ k\notin ｛1 {\rm ,10,100} $ , $ 1000｝ $ 时， $ \lg k $ 不是整数，此时 $ {a}_{k}=[ \lg k]+[- \lg k]=-1 $ .

故 $ \underset{k=1}{\sum ^{2024}}[ \lg k]+\underset{k=1}{\sum ^{2024}}[ \lg \dfrac{1}{k}]=\underset{k=1}{\sum ^{2024}}([ \lg k]+[- \lg k])=\underset{k=1}{\sum ^{2024}}{a}_{k}=(-1)×(2024-4)=-2020 $ .

$ (ab)^{ \lg ab}={a}^{ \lg ab}\cdot {b}^{ \lg ab} $

$ ={a}^{ \lg a+ \lg b}\cdot {b}^{ \lg a+ \lg b} $

$ ={a}^{ \lg a}\cdot {a}^{ \lg b}\cdot {b}^{ \lg a}\cdot {b}^{ \lg b} $ .

$ \because {b}^{ \lg a}=({10}^{ \lg b})^{ \lg a}=({10}^{ \lg a})^{ \lg b}={a}^{ \lg b}=2 $ ,

$ \therefore (ab)^{ \lg ab}=5×2×2=20 $ .