1．已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，且 $ f(x)={x}^{3}f(\dfrac{1}{x})(x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })) $ ， $ f(x)+f(y)-2xy=f(x+y) $ ，则 $ f(4) $ 的值是（ ）
A． $ -20 $
B． $ -16 $
C． $ -12 $
D． $ -10 $
在 $ f(x)+f(y)-2xy=f(x+y) $ 中，令 $ x=y=0 $ ，可得 $ f(0)=0 $ .
令 $ x=1 $ , $ y=-1 $ ，可得 $ f(1)+f(-1)+2=f(0)=0 $ ，即 $ f(1)+f(-1)=-2 $ .
在 $ f(x)={x}^{3}f(\dfrac{1}{x}) $ 中，令 $ x=-1 $ ，可得 $ f(-1)=-f(-1) $ ，则 $ f(-1)=0 $ , $ f(1)=-2 $ .
在 $ f(x)+f(y)-2xy=f(x+y) $ 中，令 $ x=y=1 $ ，可得 $ f(2)=2f(1)-2=-6 $ ，令 $ x=y=2 $ ，可得 $ f(4)=2f(2)-8=-20 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
2．如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时 $ 30\mathrm{s} $ 注满，设注水过程中，壶中水面高度为 $ ℎ( $ 单位： $ \mathrm{c}\mathrm{m}) $ ，注水时间为 $ t( $ 单位： $ \mathrm{s}) $ ，则下列选项中最符合 $ ℎ $ 关于 $ t $ 的函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
圆壶的结构是底端与上端细、中间粗,所以在注水水流速度恒定的情况下,开始时水的高度增
加的快,中间增加的慢,最后水的高度增加的速度又变快,由图可知选项A符合题意,故选A.
3．若函数 $ g(x) $ 在定义域 $ [c,d] $ 上的值域为 $ [g(c),g(d)] $ ，则称 $ g(x) $ 为“ $ \mathrm{\Omega } $ 函数”.已知函数 $ g(x)=\begin{cases}5x,0\leqslant x\leqslant 2,\\ {x}^{2}-4x+n,2 < x\leqslant 4\end{cases} $ 是“ $ \mathrm{\Omega } $ 函数”，则实数 $ n $ 的取值范围是（ ）
A． $ [4,10] $
B． $ [4,14] $
C． $ [10,14] $
D． $ [10,+\mathrm{\infty }) $
由题意可知 $ g(x) $ 的定义域为 $ [0,4] $ ，值域为 $ [g(0),g(4)] $ ，
而 $ g(0)=0 $ ， $ g(4)=n $ ，所以 $ g(x) $ 的值域为 $ [0,n] $ .
当 $ 0\leqslant x\leqslant 2 $ 时， $ g(x) $ 随 $ x $ 的增大而增大，此时值域为 $ [0,10] $ ；
当 $ 2 < x\leqslant 4 $ 时， $ g(x)={x}^{2}-4x+n $ ，函数 $ y={x}^{2}-4x+n $ 的图象开口向上，对称轴为直线 $ x=2 $ ，
故此时 $ g(x) $ 随 $ x $ 的增大而增大，值域为 $ (n-4,n] $ .
因此 $ \begin{cases}0\leqslant n-4\leqslant 10,\\ n\geqslant 10,\end{cases} $ 解得 $ 10\leqslant n\leqslant 14 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．（多选）对任意两个实数 $ a $ , $ b $ ，定义 $ \min ｛a $ , $ b｝=\begin{cases}a,a\leqslant b,\\ b,a > b,\end{cases} $ 若 $ f(x)=4-{x}^{2} $ , $ g(x)={x}^{2} $ ，下列关于函数 $ F(x)= \min ｛f(x) $ , $ g(x)｝ $ 的说法正确的是（ ）
A． $ F(1)=F(-1)=1 $
B．方程 $ F(x)=0 $ 有三个解
C．当 $ F(x) > 0 $ 时，有 $ x\in (-2,2) $
D．函数 $ F(x) $ 有最大值为2，无最小值（多选）
$ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $
当 $ 4-{x}^{2}\leqslant {x}^{2} $ ，即 $ x\leqslant -\sqrt{2} $ 或 $ x\geqslant \sqrt{2} $ 时， $ F(x)=4-{x}^{2} $ ，
当 $ 4-{x}^{2} > {x}^{2} $ ，即 $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $ 时， $ F(x)={x}^{2} $ ，
则 $ F(x)=\begin{cases}4-{x}^{2},x\geqslant \sqrt{2}\mathrm{或}x\leqslant -\sqrt{2},\\ {x}^{2},-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}.\end{cases} $
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ F(1)=1 $ , $ F(-1)=1 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ，当 $ x\leqslant -\sqrt{2} $ 或 $ x\geqslant \sqrt{2} $ 时，令 $ F(x)=4-{x}^{2}=0 $ ，解得 $ x=±2 $ .
当 $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $ 时，令 $ F(x)={x}^{2}=0 $ ，解得 $ x=0 $ ，则方程 $ F(x)=0 $ 有三个解，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ，当 $ x\leqslant -\sqrt{2} $ 或 $ x\geqslant \sqrt{2} $ 时，令 $ F(x)=4-{x}^{2} > 0 $ ，解得 $ -2 < x\leqslant -\sqrt{2} $ 或 $ \sqrt{2}\leqslant x < 2 $ .
当 $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $ 时，令 $ F(x)={x}^{2} > 0 $ ，解得 $ -\sqrt{2} < x < 0 $ 或 $ 0 < x < \sqrt{2} $ .
综上所述，当 $ F(x) > 0 $ 时，有 $ x\in (-2,0)\cup (0,2) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ，当 $ x\leqslant -\sqrt{2} $ 或 $ x\geqslant \sqrt{2} $ 时， $ F(x)=4-{x}^{2}\leqslant 2 $ ，无最小值.
当 $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $ 时， $ 0\leqslant F(x)={x}^{2} < 2 $ .
综上，函数 $ F(x) $ 有最大值为2，无最小值，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
5．已知实数 $ a\ne 0 $ ，函数 $ f(x)=\begin{cases}{x}^{2}+2a,x < 1,\\ -x,x\geqslant 1,\end{cases} $ 若 $ f(1-a)\geqslant f(1+a) $ ，则实数 $ a $ 的取值范围是 .
$ [-2,-1]\cup (0,+\mathrm{\infty }) $
当 $ a > 0 $ 时， $ 1-a < 1 $ , $ 1+a > 1 $ ，
$ \therefore f(1-a)\geqslant f(1+a) $ 即 $ (1-a)^{2}+2a\geqslant - (1+a ) $ ，整理得 $ {a}^{2}+a+2\geqslant 0 $ ， $ \mathrm{\Delta }=1-8 < 0 $ ，则不等式恒成立，故 $ a > 0 $ ；
当 $ a < 0 $ 时， $ 1-a > 1 $ , $ 1+a < 1 $ ，
$ \therefore f(1-a)\geqslant f(1+a) $ 即 $ - (1-a )\geqslant (1+a)^{2}+2a $ ，整理得 $ {a}^{2}+3a+2\leqslant 0 $ ，
即 $ (a+1)(a+2)\leqslant 0 $ ，解得 $ -2\leqslant a\leqslant -1 $ .
综上，实数 $ a $ 的取值范围是 $ [-2,-1]\cup (0,+\mathrm{\infty }) $ .
6．某公司生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，生产量为 $ x $ （单位：万件）时，需另投入流动成本为 $ W(x) $ （单位：万元）.在年产量不足8万件时， $ W(x)=\dfrac{1}{3}{x}^{2}+x $ ；在年产量不小于8万件时， $ W(x)=6x+\dfrac{100}{x}-38 $ ，每件产品售价为5元.通过市场分析，该公司生产的商品当年能全部售完.
（1） 写出年利润 $ L(x) $ （单位：万元）关于年产量 $ x $ 的函数解析式.（注：年利润 $ = $ 年销售收入-固定成本-流动成本）
（2） 年产量为多少万件时，该公司在这一商品的生产销售中所获利润最大？最大利润是多少？
（1） 【解】因为每件产品售价为5元,则 $ x $ 万件商品销售收入为 $ 5x $ 万元,依题意得,
当 $ 0 < x < 8 $ 时, $ L(x)=5x-(\dfrac{1}{3}{x}^{2}+x)-3=-\dfrac{1}{3}{x}^{2}+4x-3 $ ,
当 $ x\geqslant 8 $ 时, $ L(x)=5x-(6x+\dfrac{100}{x}-38)-3=35-(x+\dfrac{100}{x}) $ ,
所以 $ L\left(x\right)=\begin{cases}-\dfrac{1}{3}{x}^{2}+4x-3,0 < x < 8,\\ 35-\left(x+\dfrac{100}{x}\right),x\geqslant 8.\end{cases} $
（2） 【解】当 $ 0 < x < 8 $ 时, $ y=-\dfrac{1}{3}{\left(x-6\right) ^ {2}}+9\leqslant 9 $ ,
因此当 $ x=6 $ 时, $ y $ 取得最大值9；
当 $ x\geqslant 8 $ 时, $ y=35-(x+\dfrac{100}{x})\leqslant 35-2\sqrt{x\cdot \dfrac{100}{x}}=15 $ ,
当且仅当 $ x=\dfrac{100}{x} $ ,即 $ x=10 $ 时, $ y $ 取得最大值15.
因为 $ 15 > 9 $ ,所以年产量为10万件时,该公司在这一商品的生产销售中所获利润最大,最大利润是15万元.