1．下列说法正确的是（ ）
A．“ $ ac=bc $ ”是“ $ a=b $ ”的充分条件
B．“ $ x\geqslant 1 $ ”是“ $ {x}^{2}\geqslant 1 $ ”的必要条件
C．“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件
D．“ $ 1 < x < 3 $ ”是“ $ x\geqslant 0 $ ”的充分不必要条件
对于 $ \mathrm{A} $ ,当 $ c=0 $ 时,满足 $ ac=bc $ ,但此时存在 $ a\ne b $ 的情况,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ , $ {x}^{2}\geqslant 1 $ 等价于 $ x\geqslant 1 $ 或 $ x\leqslant -1 $ ,故“ $ x\geqslant 1 $ ”是“ $ {x}^{2}\geqslant 1 $ ”的充分不必要条件,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ,“ $ 1 < x < 3 $ ”是“ $ x\geqslant 0 $ ” 的充分不必要条件,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{D} $ .
2．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自《论语·卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.
从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；
反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立.
所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{B} $ .
3．“ $ m < \dfrac{1}{4} $ ”是“一元二次方程 $ {x}^{2}+x+m=0 $ 有实数解”的 条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
充分不必要
一元二次方程 $ {x}^{2}+x+m=0 $ 有实数解 $ ⇔\mathrm{\Delta }=1-4m\geqslant 0 $ ,即 $ m\leqslant \dfrac{1}{4} $ .因为 $ m < \dfrac{1}{4}⇒m\leqslant \dfrac{1}{4} $ ,反之不成立,所以“ $ m < \dfrac{1}{4} $ ”是“一元二次方程 $ {x}^{2}+x+m=0 $ 有实数解”的充分不必要条件.
4．已知 $ U $ 为全集，集合 $ A $ ， $ B $ 为 $ U $ 的两个子集，则“ $ A\subseteq {\complement }_{U}B $ ”的充要条件是（ ）
A． $ B\subseteq {\complement }_{U}A $
B． $ A\subseteq B $
C． $ B\subseteq A $
D． $ {\complement }_{U}A\subseteq B $
因为 $ A\subseteq {\complement }_{U}B $ ,则 $ A $ , $ B $ 间的关系如图,
或
由图可知 $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ , $ \mathrm{D} $ 错误, $ \mathrm{A} $ 正确.故选 $ \mathrm{A} $ .
5．若 $ x $ ， $ y\in \boldsymbol{R} $ ，则“ $ x > y $ ”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． $ |x| > |y| $
B． $ {x}^{2} > {y}^{2} $
C． $ \dfrac{x}{y} > 1 $
D． $ x-y > 1 $
对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ |x| > |y| $ ，取 $ x=-2 $ , $ y=1 $ ，则 $ x < y $ ，由 $ x > y $ ，取 $ x=1 $ , $ y=-2 $ ，则 $ |x| < |y| $ ，所以“ $ |x| > |y| $ ”是“ $ x > y $ ”的既不充分也不必要条件， $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ，由 $ {x}^{2} > {y}^{2} $ ，取 $ x=-2 $ , $ y=1 $ ，则 $ x < y $ ，由 $ x > y $ ，取 $ x=1 $ , $ y=-2 $ ，则 $ {x}^{2} < {y}^{2} $ ，
所以“ $ {x}^{2} > {y}^{2} $ ”是“ $ x > y $ ”的既不充分也不必要条件， $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ，由 $ \dfrac{x}{y} > 1 $ ，取 $ x=-2 $ , $ y=-1 $ ，则 $ x < y $ ，由 $ x > y $ ，取 $ x=1 $ , $ y=-2 $ ，则 $ \dfrac{x}{y} < 1 $ ，
所以“ $ \dfrac{x}{y} > 1 $ ”是“ $ x > y $ ”的既不充分也不必要条件， $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ，因为 $ x-y > 1 $ ，所以 $ x > y+1 > y $ ，即 $ x > y $ ，当 $ x > y $ 时，取 $ x=2.5 $ , $ y=2 $ ，则 $ x-y < 1 $ ，
所以“ $ x-y > 1 $ ”是“ $ x > y $ ”的一个充分不必要条件， $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{D} $ .
6．（多选）“关于 $ x $ 的方程 $ {x}^{2}+mx+1=0 $ 至多有一个实数根”的必要条件可以是（ ）（多选）
A． $ -2\leqslant m\leqslant 2 $
B． $ -2\leqslant m\leqslant 4 $
C． $ m < 4 $
D． $ -1\leqslant m < 2 $
因为方程 $ {x}^{2}+mx+1=0 $ 至多有一个实数根，
所以方程 $ {x}^{2}+mx+1=0 $ 的判别式 $ \mathrm{\Delta }\leqslant 0 $ ，即 $ {m}^{2}-4\leqslant 0 $ ，解得 $ -2\leqslant m\leqslant 2 $ .
利用必要条件的定义，结合选项可知， $ -2\leqslant m\leqslant 2 $ 成立的必要条件可以是选项 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ ，故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .
7．设计如图所示的四个电路图，若 $ p\text{：} $ 开关 $ \mathrm{S} $ 闭合, $ q\text{：} $ 灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，则满足 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件的电路图是（ ）（多选）
A．
B．
C．
D．
由题知，电路图A中，开关 $ \mathrm{S} $ 闭合，灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，而灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮开关 $ \mathrm{S} $ 不一定闭合，故 $ \mathrm{A} $ 中 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件；
电路图B中，开关 $ \mathrm{S} $ 闭合，灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，且灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，则开关 $ \mathrm{S} $ 一定闭合，故 $ \mathrm{B} $ 中 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件；
电路图C中，开关 $ \mathrm{S} $ 闭合，灯泡 $ \mathrm{L} $ 不一定亮，灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮,则开关 $ \mathrm{S} $ 一定闭合，故 $ \mathrm{C} $ 中 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件；
电路图D中，开关 $ \mathrm{S} $ 闭合，灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，灯泡 $ \mathrm{L} $ 亮，则一定有开关 $ \mathrm{S} $ 闭合，故 $ \mathrm{D} $ 中 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .
8．若集合 $ A=｛x|x > 2｝ $ , $ B=｛x|x < b $ , $ b\in \boldsymbol{R}｝ $ ，试写出 $ A\cup B=\boldsymbol{R} $ 的一个必要不充分条件.
【解】由 $ A\cup B=\boldsymbol{R} $ ，得 $ b > 2 $ ，所以 $ A\cup B=\boldsymbol{R} $ 的一个必要不充分条件可以是 $ b > 1 $ （答案不唯一）.
9．设 $ p:\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1 $ ； $ q:a\leqslant x\leqslant a+1 $ ，若 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A． $ ｛a|0\leqslant a\leqslant \dfrac{1}{2}｝ $
B． $ ｛a|0 < a < \dfrac{1}{2}｝ $
C． $ ｛a|a\leqslant 0或a\geqslant \dfrac{1}{2}｝ $
D． $ ｛a|a < 0或a > \dfrac{1}{2}｝ $
若 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件,则 $ \begin{cases}a\leqslant \dfrac{1}{2},\\ a+1\geqslant 1,\end{cases} $ 且等号不同时成立,解得 $ 0\leqslant a\leqslant \dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
10．若不等式 $ |x-a| < 1 $ 成立的一个充分不必要条件是 $ \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2} $ ，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A． $ ｛a|\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{3}{2}｝ $
B． $ ｛a|\dfrac{1}{2}\leqslant a\leqslant \dfrac{3}{2}｝ $
C． $ ｛a|a < \dfrac{1}{2}或a > \dfrac{3}{2}｝ $
D． $ ｛a|a\leqslant \dfrac{1}{2}或a\geqslant \dfrac{3}{2}｝ $
由 $ |x-a| < 1 $ 解得 $ a-1 < x < 1+a $ ,所以 $ a-1 < x < 1+a $ 成立的一个充分不必要条件是 $ \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2} $ ,故 $ ｛x|\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}｝ $ 是 $ ｛x|a-1 < x < 1+a｝ $ 的真子集,所以 $ \begin{cases}a-1\leqslant \dfrac{1}{2},\\ a+1 > \dfrac{3}{2}\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}a-1 < \dfrac{1}{2},\\ a+1\geqslant \dfrac{3}{2},\end{cases} $ 解得 $ \dfrac{1}{2}\leqslant a\leqslant \dfrac{3}{2} $ ,故实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|\dfrac{1}{2}\leqslant a\leqslant \dfrac{3}{2}｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
11．已知集合 $ A=｛x|{x}^{2}-4=0｝ $ ， $ B=｛x|ax-2=0｝ $ ，若 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 的必要不充分条件，则实数 $ a $ 的所有可能取值构成的集合为 .
$ ｛-1 {\rm ,0} $ , $ 1｝ $
依题意, $ A=｛x|{x}^{2}-4=0｝=｛2 $ , $ -2｝ $ .
由 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 的必要不充分条件,得 $ B⫋A $ .
若 $ a=0 $ ,则 $ B=\mathrm{⌀} $ ,满足 $ B⫋A $ .
当 $ a\ne 0 $ 时, $ B=｛x|x=\dfrac{2}{a}｝ $ ,
所以 $ \dfrac{2}{a}=2 $ 或 $ \dfrac{2}{a}=-2 $ ,
解得 $ a=1 $ 或 $ a=-1 $ .
综上所述,实数 $ a $ 的所有可能取值构成的集合为 $ ｛-1 {\rm ,0} $ , $ 1｝ $ .
12．已知 $ p: $ “方程 $ a{x}^{2}+2x+1=0 $ 至少有一个负实根”，若 $ p $ 为真命题的一个必要不充分条件为 $ a\leqslant m+1 $ ，则实数 $ m $ 的取值范围是 .
$ ｛m|m > 0｝ $
若 $ p: $ “方程 $ a{x}^{2}+2x+1=0 $ 至少有一个负实根”为真命题，
则当 $ a=0 $ 时， $ 2x+1=0 $ ,则 $ x=-\dfrac{1}{2} $ ，符合要求；
当 $ a < 0 $ 时， $ \mathrm{\Delta }=4-4a > 0 $ ，设此时方程的两根分别为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ，则 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{2}{a} > 0 $ , $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{1}{a} < 0 $ ，因此方程 $ a{x}^{2}+2x+1=0 $ 有一个正根和一个负根，符合要求；
当 $ a > 0 $ 时，由 $ \mathrm{\Delta }=4-4a=0 $ ，解得 $ a=1 $ ，
此时方程为 $ {x}^{2}+2x+1={\left(x+1\right) ^ {2}}=0 $ ,解得 $ x=-1 $ ，符合要求,
由 $ \mathrm{\Delta }=4-4a > 0 $ 解得 $ 0 < a < 1 $ ，设此时方程的两根分别为 $ {x}_{3} $ , $ {x}_{4} $ ，则 $ {x}_{3}+{x}_{4}=-\dfrac{2}{a} < 0 $ , $ {x}_{3}{x}_{4}=\dfrac{1}{a} > 0 $ ，此时方程 $ a{x}^{2}+2x+1=0 $ 有两个不相等的负根，符合要求.
综上所述， $ p $ 为真命题时， $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a\leqslant 1｝ $ .
若 $ p $ 为真命题的一个必要不充分条件为 $ a\leqslant m+1 $ ，则 $ m+1 > 1 $ ,解得 $ m > 0 $ ，
因此实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|m > 0｝ $ .
13．已知集合 $ A=｛x|x < a $ 或 $ x > a+2｝ $ ， $ B=｛x|x\geqslant 3｝ $ .
（1） 若“ $ x\in A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的必要条件，求实数 $ a $ 的取值范围；
（2） 若“ $ x\in A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的必要不充分条件，求实数 $ a $ 的取值范围；
（3） 若“ $ x\in {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的充分条件，求实数 $ a $ 的取值范围；
（4） 若“ $ x\in {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的充分不必要条件，求实数 $ a $ 的取值范围.
（1） 【解】若“ $ x\in A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的必要条件，则 $ B $ 是 $ A $ 的子集，故 $ a+2 < 3 $ ，解得 $ a < 1 $ .
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a < 1｝ $ .
（2） 【解】若“ $ x\in A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的必要不充分条件，则 $ B $ 是 $ A $ 的真子集，故 $ a+2 < 3 $ ，
解得 $ a < 1 $ .
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a < 1｝ $ .
（3） 【解】若“ $ x\in {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的充分条件，则 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ 是 $ B $ 的子集.
易知 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A=｛x|a\leqslant x\leqslant a+2｝ $ ，所以 $ a\geqslant 3 $ .
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a\geqslant 3｝ $ .
（4） 【解】若“ $ x\in {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ ”是“ $ x\in B $ ”成立的充分不必要条件，则 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A $ 是 $ B $ 的真子集.
因为 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A=｛x|a\leqslant x\leqslant a+2｝ $ ，所以 $ a\geqslant 3 $ .
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a\geqslant 3｝ $ .
14．甲：“实数 $ a $ , $ b $ , $ c $ 满足 $ 2b=a+c $ ”，乙：“实数 $ a $ , $ b $ , $ c $ 满足 $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=2 $ ”，则甲是乙的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
当 $ a=b=c=0 $ 时，实数 $ a $ , $ b $ , $ c $ 满足 $ 2b=a+c $ ，但此时 $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=2 $ 不成立；反过来由 $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=2 $ 得 $ a+c=2b $ .
综上所述，“实数 $ a $ , $ b $ , $ c $ 满足 $ 2b=a+c $ ”是“实数 $ a $ , $ b $ , $ c $ 满足 $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=2 $ ”的必要不充分条件，故选 $ \mathrm{A} $ .
15．已知 $ p:a=b $ ， $ q:|a|=|b| $ ，则下列说法正确的是（ ）（多选）
A． $ q $ 是 $ p $ 的充分不必要条件
B． $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件
C． $ q $ 的必要不充分条件是 $ p $
D． $ p $ 的必要不充分条件是 $ q $
由 $ a=b $ ，得 $ |a|=|b| $ ，所以 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件， $ p $ 的必要条件是 $ q $ ，
由 $ |a|=|b| $ ，得 $ a=±b $ ，所以 $ p $ 是 $ q $ 的不必要条件， $ p $ 的不充分条件是 $ q $ ，
所以 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件， $ p $ 的必要不充分条件是 $ q $ .故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .
16．求证：一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 有一正根和一负根的充要条件是 $ ac < 0 $ .
【证明】充分性： $ \because ac < 0 $ , $ \therefore $ 一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 的判别式 $ \mathrm{\Delta }={b}^{2}-4ac > 0 $ , $ \therefore $ 方程一定有两个不等实根,分别设为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ,则 $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a} < 0 $ , $ \therefore $ 方程的两根异号,即方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 有一正根和一负根.
必要性： $ \because $ 一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 有一正根和一负根,分别设为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ,则由一元二次方程根与系数的关系,得 $ \mathrm{\Delta }={b}^{2}-4ac > 0 $ 且 $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a} < 0 $ ,解得 $ ac < 0 $ .
综上可知,一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 有一正根和一负根的充要条件是 $ ac < 0 $ .
17．“关于 $ x $ 的方程 $ a{x}^{2}+x-1=0 $ 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． $ a=0 $
B． $ a\leqslant 0 $
C． $ -\dfrac{1}{4}\leqslant a\leqslant 0 $
D． $ -\dfrac{1}{4}\leqslant a < 0 $
关于 $ x $ 的方程 $ a{x}^{2}+x-1=0 $ 的根为正实数，
则需满足 $ a=0 $ 或 $ \begin{cases}a\ne 0,\\ \mathrm{\Delta }=1+4a\geqslant 0,\\ -\dfrac{1}{a} > 0,\end{cases} $ 解得 $ -\dfrac{1}{4}\leqslant a\leqslant 0 $ .
“关于 $ x $ 的方程 $ a{x}^{2}+x-1=0 $ 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为 $ p $ ， $ p $ 对应的集合为 $ B $ ，
则 $ ｛a|-\dfrac{1}{4}\leqslant a\leqslant 0｝⫋B $ ，
结合选项可知 $ a\leqslant 0 $ 满足，故选 $ \mathrm{B} $ .