1．下列关系中正确的是（ ）
A． $ \mathrm{\pi }\in \mathrm{Q} $
B． $ \mathrm{⌀}\subseteq ｛0｝ $
C． $ ｛0,1｝\subseteq ｛(0,1)｝ $
D． $ ｛(a,b)｝=｛(b,a)｝ $
$ \mathrm{\pi } $ 是无理数,所以 $ \mathrm{A} $ 错误.
空集是任何集合的子集,所以 $ \mathrm{B} $ 正确.
集合 $ ｛0,1｝ $ 与集合 $ ｛(0,1)｝ $ 的元素类型不相同,没有包含关系,所以 $ \mathrm{C} $ 错误.
当 $ a\ne b $ 时，元素 $ (a,b)\ne (b,a) $ ,所以 $ \mathrm{D} $ 错误.
故选 $ \mathrm{B} $ .
2．已知全集 $ U=A\cup B=｛x\in \boldsymbol{N}|0\leqslant x\leqslant 10｝ $ ， $ A\cap ({\complement }_{U}B)=｛1,3,5,7｝ $ ，则集合 $ B $ 的元素个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．不确定
因为全集 $ U=A\cup B=｛x\in \mathrm{N}|0\leqslant x\leqslant 10｝=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝ $ ， $ A\cap ({\complement }_{U}B)=｛1,3,5,7｝ $ ，
所以 $ A $ 中肯定有 $ {\rm 1，3，5，7，} B $ 中肯定没有 $ {\rm 1，3，5，7，} A $ 和 $ B $ 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了 $ {\rm 1，3，5，7，} A $ 中有的其他数字， $ B $ 中也一定会有， $ A $ 中没有的数字， $ B $ 中也一定会有，所以 $ B=｛0,2,4,6,8,9,10｝ $ ，即集合 $ B $ 有7个元素．故选 $ \mathrm{B} $ ．
3．若全集 $ U=\boldsymbol{R} $ ，集合 $ M=｛x|0 < x\leqslant 3｝ $ ， $ N=｛y|y={x}^{2}+1｝ $ ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． $ ｛x|0 < x < 1｝ $
B． $ ｛x|0\leqslant x < 1｝ $
C． $ ｛x|0 < x\leqslant 1｝ $
D． $ ｛x|0\leqslant x\leqslant 1｝ $
已知 $ M=｛x|0 < x\leqslant 3｝ $ ，
由 $ y={x}^{2}+1\geqslant 1 $ ，得 $ N=｛y|y\geqslant 1｝ $ ，
则题图中阴影部分表示的集合为 $ M\cap ({\complement }_{U}N)=｛x|0 < x < 1｝ $ ．故选 $ \mathrm{A} $ ．
4．已知集合 $ A=｛x|x < a｝ $ ， $ B=｛x|1\leqslant x < 2｝ $ ,且 $ A\cup ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B)=\boldsymbol{R} $ ，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A． $ ｛a|a\leqslant 1｝ $
B． $ ｛a|a < 1｝ $
C． $ ｛a|a\geqslant 2｝ $
D． $ ｛a|a > 2｝ $
由题意得 $ {\complement }_{\mathrm{R}}B=｛x|x < 1 $ 或 $ x\geqslant 2｝.\because A\cup ({\complement }_{\mathrm{R}}B)=｛x|x < a｝\cup ｛x|x < 1 $ 或 $ x\geqslant 2｝=\boldsymbol{R} $ ， $ \therefore a\geqslant 2 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
5．定义集合 $ A $ ， $ B $ 的一种运算： $ A\ast B=｛x|x={b}^{2}+a $ , $ a\in A $ , $ b\in B｝ $ ，若 $ A=｛1,2｝ $ ， $ B=｛-1 $ , $ 2｝ $ ，则 $ A\ast B $ 中的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
当 $ a=1 $ , $ b=-1 $ 时， $ x={\left(-1\right) ^ {2}}+1=2 $ ；当 $ a=1 $ , $ b=2 $ 时， $ x={2}^{2}+1=5 $ ；
当 $ a=2 $ , $ b=-1 $ 时， $ x={\left(-1\right) ^ {2}}+2=3 $ ；
当 $ a=2 $ , $ b=2 $ 时， $ x={2}^{2}+2=6 $ ，
所以 $ A\ast B=｛2,3,5,6｝ $ ，即 $ A\ast B $ 中的元素个数为4.故选 $ \mathrm{C} $ .
6．（多选）对于集合 $ M=｛a|a={x}^{2}-{y}^{2} $ , $ x\in \boldsymbol{Z} $ , $ y\in \boldsymbol{Z} $ },给出如下结论，其中正确的结论是（ ）（多选）
A．如果 $ {a}_{1}\in M $ ， $ {a}_{2}\in M $ ，那么 $ {a}_{1}{a}_{2}\in M $
B．如果 $ {a}_{1}\in M $ ， $ {a}_{2}\in M $ ，那么 $ {a}_{1}+{a}_{2}\in M $
C．如果 $ B=｛b|b=2n+1 $ , $ n\in \boldsymbol{N}｝ $ ，那么 $ B\subseteq M $
D．若 $ C=｛c|c=2n $ , $ n\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，则 $ C\cap M=｛x|x=4m $ , $ m\in \boldsymbol{Z} $ }
$ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ 选项，如果 $ {a}_{1}\in M $ , $ {a}_{2}\in M $ ,不妨设 $ {a}_{1}={x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2} $ , $ {a}_{2}={x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2} $ ,则 $ {a}_{1}{a}_{2}=({x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2})({x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2})={\left({x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}\right) ^ {2}}-{\left({x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}\right) ^ {2}}\in M $ , $ {a}_{1}+{a}_{2}={x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}={\left({x}_{1}+{x}_{2}\right) ^ {2}}-{\left({y}_{1}+{y}_{2}\right) ^ {2}}-2{x}_{1}{x}_{2}+2{y}_{1}{y}_{2} $ 不一定属于集合 $ M $ ,即 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误.
$ \mathrm{C} $ 选项， $ B=｛b|b=2n+1 $ , $ n\in \boldsymbol{N} $ },由 $ b=2n+1={\left(n+1\right) ^ {2}}-{n}^{2} $ , $ n+1\in {\boldsymbol{N}}_{+} $ , $ n\in \boldsymbol{N} $ ,得 $ B\subseteq M $ , $ \mathrm{C} $ 正确.
$ \mathrm{D} $ 选项,因为 $ {x}^{2}-{y}^{2}=(x+y)(x-y) $ ,当 $ x+y $ , $ x-y $ 至少有一个为0时, $ {x}^{2}-{y}^{2}=0 $ .
当 $ x+y $ , $ x-y $ 均为非零整数时,若 $ x $ , $ y $ 均为奇数,则 $ x+y $ , $ x-y $ 均为偶数, $ {x}^{2}-{y}^{2}=(x+y)(x-y) $ 为4的倍数；
若 $ x $ , $ y $ 一个为奇数,一个为偶数,则 $ x+y $ , $ x-y $ 均为奇数, $ {x}^{2}-{y}^{2}=(x+y)(x-y) $ 为奇数；
若 $ x $ , $ y $ 均为偶数,则 $ x+y $ , $ x-y $ 均为偶数, $ {x}^{2}-{y}^{2}=(x+y)(x-y) $ 为4的倍数.
又 $ 2n+1={\left(n+1\right) ^ {2}}-{n}^{2} $ , $ 4m={\left(m+1 \right) ^ {2}}- (m-1)^{2} $ , $ n $ , $ m\in \boldsymbol{Z} $ ,
所以 $ M=｛a|a={x}^{2}-{y}^{2} $ , $ x\in \boldsymbol{Z} $ , $ y\in \boldsymbol{Z}｝=｛b|b=2n+1 $ , $ n\in \boldsymbol{Z}｝\cup ｛b|b=4m $ , $ m\in \boldsymbol{Z} $ },
所以 $ C\cap M=｛x|x=4m $ , $ m\in \boldsymbol{Z} $ }, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
7．已知全集 $ U=｛1,2,3,4,5｝ $ ，集合 $ A=｛1,3｝ $ ， $ B=｛1,2,4｝ $ ，则 $ ({\complement }_{U}B)\cup A $ 的真子集个数为 .
7
$ \because {\complement }_{U}B=｛3 $ ， $ 5｝ $ ， $ \therefore ({\complement }_{U}B)\cup A=｛1,3,5｝ $ , $ \therefore $ 其真子集个数为 $ {2}^{3}-1=7 $ .
8．某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观了酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观过的同学有 人.
2
因为32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，24人三个地方都参观过，
所以同时参观酃湖公园和石鼓书院但未参观船山书院的有 $ 32-24=8 $ 人，
同理，同时参观石鼓书院和船山书院但未参观酃湖公园的有 $ 40-24=16 $ 人，
同时参观酃湖公园和船山书院但未参观石鼓书院的有 $ 30-24=6 $ 人.
因为38人参观了酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，
所以只参观酃湖公园的有 $ 38-24-6-8=0 $ 人，
只参观石鼓书院的有 $ 48-24-16-8=0 $ 人，
只参观船山书院的有 $ 48-24-6-16=2 $ 人，
作出 $ \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n} $ 图如图，则三个地方都没参观的同学有 $ 58-24-8-6-16-2=2 $ 人.
9．已知集合 $ A=｛x|{x}^{2}-3x+2=0｝ $ ， $ B=｛x|{x}^{2}+2(a+1)x+{a}^{2}-5=0｝ $ .
（1） 若集合 $ B $ 的真子集有且只有1个，求实数 $ a $ 的值；
（2） 若 $ A\cup B=A $ ，求实数 $ a $ 的取值范围.
（1） 【解】由题可得集合 $ B $ 中的元素个数为1,
$ \therefore \mathrm{\Delta }=4 (a+1)^{2}-4 ({a}^{2}-5 )=0 $ ,
即 $ 8(a+3)=0 $ ,解得 $ a=-3 $ .
（2）【解】 $ \because A\cup B=A $ , $ \therefore B\subseteq A=｛1,2｝ $ .
对集合 $ B $ 讨论：
当 $ \mathrm{\Delta } < 0 $ ,即 $ a < -3 $ 时, $ B=\mathrm{⌀} $ ,满足条件；
当 $ \mathrm{\Delta }=0 $ ,即 $ a=-3 $ 时, $ B=｛2｝ $ ,满足条件；
当 $ \mathrm{\Delta } > 0 $ ，即 $ a > -3 $ 时,要满足条件,必有 $ B=｛1,2｝ $ ,
由一元二次方程根与系数的关系有 $ \begin{cases}1+2=-2(a+1),\\ 1×2={a}^{2}-5,\end{cases} $ 此方程组无解,不满足条件,舍去.
综上所述,实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a\leqslant -3｝ $ .